Werken met e > Het getal e
12345Het getal e

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

In GeoGebra gebruik je gewoon y = Afgeleide(f) om een afgeleide in beeld te krijgen.

In Desmos gebruik je `y=f'(x)` om een afgeleide in beeld te krijgen.

Met een grafische rekenmachine is het iets meer werk, zie dit practicum op de Math4all site.

Beide grafieken hebben dezelfde vorm, dus van `f` heeft de afgeleide dezelfde vorm.

b

De grafiek van `y = (f(x))/(g(x))` is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst.
Kennelijk is `g(x)` (de afgeleide dus) recht evenredig met `f(x)` .

c

Voor deze exponentiële functie is `f'(x) = c * f(x)` .
Dat geldt ook als het grondtal een ander getal is.

d

Nee.

Opgave 1
a

Gebruik de applet.
Als je punt `P` op `(0, 1)` zet, kun je die factor meteen aflezen.

b

Je vindt `c ~~ 0,92` .

c

Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03` .

d

Dit getal is ongeveer `2,72` (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).

Opgave 2
a

Gebruik GeoGebra, Desmos, of de GR.

b

`f'(0) = text(e)^0 = 1`

c

Dat is de `y` -waarde bij `x = 1` .

d

Het hellingsgetal in dit punt is `text(e)` en de vergelijking van de raaklijn is `y = text(e)x - text(e)` .

Opgave 3
a

`y=0`

b

Zet in je grafiek ook de lijn `y=10` en bepaal het snijpunt met de grafiek van `f` .
Je vindt `x ~~ 2,30` .

c

Doen.

d

Je vindt `x = ln(20) ~~ 2,996` .

Opgave 4
a

`f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - text(e)^3` .

b

Uit de grafiek lees je af `x le 1,1` .

In het voorbeeld staat `x le ln(3)` en `ln(3) ~~ 1,099` , dus dat komt overeen.

c

Je vindt `x ≤ ln(20)` .

Opgave 5
a

`x = \ ^2log(1/8) = text(-)3` .

Of: `2^x = 1/(2^3) = 2^(text(-)3)` en dus `x=text(-)3` .

b

`x = \ ln(1/(text(e)^3)) = text(-)3` .

Of: `text(e)^x = 1/(text(e)^3) = text(e)^(text(-)3)` en dus `x=text(-)3` .

c

`5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219` .

d

`text(e)^x = text(e)^(1,5)` geeft `x = 1,5` .

Opgave 6
a

Bij `y = 1` hoort `x = text(e)` .

b

`x = text(e)^5 ~~ 148,4` .

c

`0,007 ≤ x ≤ 148,413` .

Opgave 7
a

`N(t) = 50*text(e)^(1,10t) = 50*(text(e)^(1,10))^t ~~ 50*3,00^3` , dus de groeifactor per uur is ongeveer `3` .

b

Omdat `f'(0) = 2text(e)^0 - 3text(e)^0 = text(-)1` is de raaklijn `y = text(-)x + b` .

Omdat `f(0) = text(e)^0 - 3text(e)^0 = text(-)2` gaat de raaklijn door `(0, text(-)2)` .

De bijbehorende vergelijking is `y = text(-)x - 2` .

Opgave 8
a

De groeifactor is `text(e)^(text(-)0,01) ~~ 0,99` .

Dat er van verval sprake is kun je in de formule zien aan het minteken in de exponent.

b

`12*10^3 * text(e)^(text(-)0,01t) = 6*10^3` betekent `text(e)^(text(-)0,01t) = 0,5` .
Dus `text(-)0,01t = ln(0,5) ~~ text(-)0,693` en `t ~~ 69` jaar.

c

`N(t) = 12*10^3 * text(e)^(text(-)0,01t) * text(-)0,01 = text(-)120*text(e)^(text(-)0,01t)`
`N'(0) = text(-)120` , dus op `t=0` is de groeisnelheid `120` bijen per jaar minder.
Het verval is zichtbaar aan het minteken van de afgeleide.

Opgave 9
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij `y=12` be bijbehorende `x` -waarde moet kunnen aflezen.

`f(x) = 12` als `x ~~ 1,4` .

b

`f(x) = 3*text(e)^x = 12` geeft `text(e)^x = 4` en dus `x = ln(4) ~~ 1,39` .

c

`f(x) = 3*text(e)^x` geeft `f'(x) = 3*text(e)^x` .

`f'(0) = 3` , dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = 3x + b` .

`f(0) = 3` , dus de raaklijn gaat door `(0, 3)` en dus is `3 = 3*0 + b` , zodat `b=3` .

De vergelijking van de raaklijn is `y = 3x + 3` .

Opgave 10
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij `y=12` be bijbehorende `x` -waarde moet kunnen aflezen.

`g(x) = 12` als `x ~~ 0,8` .

b

`g(x) = text(e)^(3x) = 12` geeft `3x = ln(12)` en dus `x = 1/3 ln(12) ~~ 0,83` .

c

`g(x) = text(e)^(3x)` geeft `g'(x) = 3*text(e)^(3x)` .

`g'(0) = 3` , dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = 3x + b` .

`g(0) = 1` , dus de raaklijn gaat door `(0, 1)` en dus is `1 = 3*0 + b` , zodat `b=1` .

De vergelijking van de raaklijn is `y = 3x + 1` .

Opgave 11
a

`text(e)^(0,019) ~~ 1,0192` , dus dat is een groeipercentage van ongeveer `1,9` % per jaar.

b

`N(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019*20) ~~ 1,651 * 10^9` inwoners.

c

`1,129*10^9 * text(e)^(0,019t) = 2*10^9` geeft `text(e)^(0,019t) ~~ 1,771` .
Hieruit volgt `0,019t ~~ ln(1,771)` en dus `t ~~ 30,1` jaar.

Dus in de loop van 2037.

d

`N(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019t)` geeft `N'(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019t) * 0,019 ~~ 0,021*10^9*text(e)^(0,019t)` .
`N'(13) ~~ 0,027*10^9` mensen, dat is ongeveer `27` miljoen mensen per jaar.

Opgave 12
a

`x = ln(3) ~~ 1,099`

b

`x = 3/(text(e)) ~~ 1,104`

c

`x = text(e)^3 ~~ 20,086`

d

`text(e)^(0,1x) = 20` geeft `0,1x = ln(2)` en dus `x = 10 ln(2) ~~ 29,957` .

Opgave 13
a

`h(5) = 0,5*text(e)^(k*5) = 0,25` geeft `text(e)^(5k) = 0,5` en `5k = ln(0,5)` zodat `k ~~ text(-)0,14` .

b

`h(t) = 0,5*text(e)^(text(-)0,14t) lt 0,1`

`0,5*text(e)^(text(-)0,14t) = 0,1` geeft `text(e)^(text(-)0,14t) = 0,2` en `text(-)0,14t = ln(0,2)` zodat `t ~~ 11,6` minuten. Dus vanaf de twaalfde minuut is dit het geval.

c

Het uitstromen zal dan sneller gaan. `k` moet daartoe een negatief getal verder van `0` en dus kleiner worden.

Je kunt dit aan de afgeleide zien: `h'(t) = 0,5k * text(e)^(k*t)` . Hoe negatiever het getal `k` hoe steiler de hellingen naar beneden lopen, dus hoe groter de uitstroomsnelheid.

Opgave A1
a

`T(0) = 80` .

b

`t rarr oo` betekent `T rarr 20` . Dus `20`  °C.

c

`V(t) = T(t) - 20 = 60 * text(e)^(text(-)0,22t)` en `V'(t) = 60 * text(-)0,22 * text(e)^(text(-)0,22t)` en dus is `V'` een veelvoud van `V` .

e

`V'(t) < 0` voor elke waarde van `t` .

Opgave A2
a

`T(0) = 6` .

b

`20 - 14 * text(e)^(text(-)0,05t) = 15` geeft `text(e)^(text(-)0,05t) = 5/14` en `t ~~ 20,6` minuten.
Dus na `21` minuten.

c

`V(t) = T(t) - 20 = text(-)14 * text(e)^(text(-)0,05t)` en `V'(t) = text(-)14 * text(-)0,05 * text(e)^(text(-)0,05t) = 0,7*text(e)^(text(-)0,15t)` en dus is `V'` een veelvoud van `V` .

e

`V'(t) gt 0` voor elke waarde van `t` .

Opgave T1
a

Horizontale asymptoot `y = 0` .

b

`x = ln(2) ~~ 0,69` .

c

`f'(x) = 4text(e)^x` geeft `f'(1) = 4text(e)` dus de raaklijn is `y = 4text(e)x + b` .

d

`4 text(e)^x = 6` geeft `text(e)^x = 1,5` en `x = ln(1,5)` .
De grafiek geeft `x ≤ ln(1,5)` .

Opgave T2
a

`N(t) = 120*text(e)^(0,95t) = 120*(text(e)^(0,95))^t ~~ 120*2,59^3` , dus de groeifactor per uur is ongeveer `2,6` .

b

`N(t) = 120*text(e)^(0,95t)` geeft `N'(t) = 120*text(e)^(0,95t)*0,95 = 114*text(e)^(0,95t)` .

`N'(0) = 114*text(e)^(0) = 114` bacteriën per uur.

verder | terug