Werken met e > Het getal e
12345Het getal e

Voorbeeld 3

Voor de groei van een hoeveelheid bacteriën heeft een onderzoeker deze formule opgesteld:

`N(t) = N(0)*text(e)^(0,69t)`

Hierin is:

  • `N` de hoeveelheid bacteriën

  • `t` de tijd in uren

Wat is de betekenis van `N(0)` ?
Laat zien dat het aantal bacteriën volgens deze formule elk uur ongeveer verdubbelt.
De groeisnelheid van deze bacteriën verandert steeds. Hoe groot is die groeisnelheid op `t=0` als `N(0) = 60` ?

> antwoord

`N(0)` is het aantal bacteriën op `t=0` .
Immers op `t=0` is het aantal bacteriën: `N(0)*text(e)^(0) = N(0)` .

Je kunt de groeifactor `g` per uur bepalen door de formule in de vorm `N(t) = N(0)*g^t` te schrijven:

`N(t) = N(0)*text(e)^(0,69t) = N(0)*(text(e)^(0,69))^t ~~ N(0)*1,99^t`

Je ziet dat de groeifactor per uur ongeveer `2` is.


Voor de groeisnelheid heb je de afgeleide nodig. Denk daarbij om de kettingregel.

`N(t) = 60*text(e)^(0,69t)` geeft `N'(t) = 60*text(e)^(0,69t)*0,69 = 41,4*text(e)^(0,69t)`

De groeisnelheid op `t=0` is dus `N'(0) = 41,4` bacteriën per uur.

Opgave 7

Bekijk Voorbeeld 3.
Voor een andere soort bacteriën geldt de formule `N(t) = 50*text(e)^(1,10t)` .
De betekenis van `N` en `t` is hetzelfde als in het voorbeeld.

a

Hoeveel bedraagt nu de groeifactor per uur?

b

Bereken de groeisnelheid van deze soort bacteriën voor `t=2` .

Opgave 8

Het verloop van de populatie bijen in West-Europa kan volgens wetenschappers worden beschreven door de formule:

`N(t) = N(0) * text(e)^(text(-)0,01t)`

Hierin is:

  • `N` het aantal bijen in een bepaald gebied

  • `t` de tijd in jaren

`N(0) = 12*10^3` is het aantal bijen in een bepaald gebied op `t=0` .

a

Bereken de groeifactor per jaar van de bijenpopulatie in dit gebied.
Hoe kun je aan de formule zien dat er van verval sprake is?

b

Bereken na hoeveel jaar de bijenpopulatie in dit gebied volgens de gegeven formule zou zijn gehalveerd.

c

Bereken ook de groeisnelheid van de bijeenpopulatie in dit gebied op `t=0` .
Hoe kun je aan die groeisnelheid zien dat er van verval van de populatie sprake is?

verder | terug