Werken met e > Het getal e
12345Het getal e

Uitleg

Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm . Neem je , dan hebben deze functies de vorm . In de figuur zie je zo'n functie met de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek. De helling van de grafiek hangt af van de grootte van . Neem je , dan wordt groter als groter wordt.
De helling is voor elke recht evenredig is met , dus .
En .

  • Voor geldt: .
    Dus als dan is .

  • Voor geldt: .
    Dus als dan is .

Er lijkt een waarde van te bestaan (tussen en ) waarvoor geldt dat . Ga na, dat dit bij het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal als . Dit getal heeft de letter gekregen:
Als dan vallen de functie en de afgeleide samen, ze zijn dan gelijk.

Dus als , dan is .

Met reken je net als met alle exponentiële functies.
Er hoort dus ook een logaritme met grondtal bij...

Opgave 1

Lees eerst de Uitleg goed door.
In het algemeen geldt: Als dan is .

a

Bekijk de grafiek van en zijn afgeleide.
Laat zien dat , dus .

b

Bekijk de grafiek van en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van .

c

Doe ditzelfde ook voor en .

d

Er is een grondtal waarvoor . Hoe groot is dit getal ongeveer?

Opgave 2

Als het grondtal van de functie gelijk is aan dan is de afgeleide gelijk aan de functie zelf. Dus:

Als dan is .

a

Maak de grafiek van .

b

Hoe groot is de helling van deze grafiek in ?

c

Waar in de grafiek vind je het getal ?

d

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van in het punt ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Opgave 3

Bekijk de grafiek van .

a

Welke asymptoot heeft die grafiek?

b

Los met behulp van de grafiek op .
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De exacte oplossing van is gelijk aan .

In plaats van wordt in de wiskunde gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor .

c

Laat zien dat dezelfde waarde voor oplevert als bij b.

d

Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: .

verder | terug