Werken met e > Het getal e
12345Het getal e

Uitleg

Bij exponentiële groei gaat het om functies van de vorm `f(x)=b*g^x` . Neem je `b=1` , dan hebben deze functies de vorm `f(x)=g^x` . In de figuur zie je zo'n functie `f` met de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek. De helling van de grafiek hangt af van de grootte van `g` . Neem je `x=0` , dan wordt `f'(0)` groter als `g` groter wordt.
De helling is voor elke `x` recht evenredig is met `f(x)` , dus `f'(x)=c*g^x` .
En `c = f'(0)` .

  • Voor `g=2` geldt: `c = f'(0) ≈ 0,69` .
    Dus als `f(x)=2^x` dan is `f'(x)≈0,69 *2^x` .

  • Voor `g=3` geldt: `c = f'(0) ≈ 1,10` .
    Dus als `f(x)=3^x` dan is `f'(x)≈1,10 *3^x` .

Er lijkt een waarde van `g` te bestaan (tussen `2` en `3` ) waarvoor geldt dat `c=1` . Ga na, dat dit bij `g≈2,7` het geval is. Het getal waarbij dit PRECIES het geval is, is net zo'n bijzonder getal als `π` . Dit getal heeft de letter `text(e)` gekregen: `text(e)≈2,71828...`
Als `g = text(e)` dan vallen de functie en de afgeleide samen, ze zijn dan gelijk.

Dus als `f(x)= text(e) ^x` , dan is `f'(x)= text(e) ^x` .

Met `f(x)= text(e) ^x` reken je net als met alle exponentiële functies.
Er hoort dus ook een logaritme met grondtal `text(e)` bij...

Opgave 1

Lees eerst de Uitleg goed door.
In het algemeen geldt: Als `f(x) = g^x` dan is `f'(x) = c * g^x` .

a

Bekijk de grafiek van `f(x) = 3^x` en zijn afgeleide.
Laat zien dat `f'(x) ~~ 1,10 * 3^x` , dus `c ~~ 1,10` .

b

Bekijk de grafiek van `f(x) = 2,5^x` en (een benadering van) zijn afgeleide. Bepaal nu zelf de bijpassende waarde van `c` .

c

Doe ditzelfde ook voor `f(x) = 2,7^x` en `f(x) = 2,8^x` .

d

Er is een grondtal `g` waarvoor `c = 1` . Hoe groot is dit getal ongeveer?

Opgave 2

Als het grondtal van de functie `f(x) = g^x` gelijk is aan `text(e) ~~ 2,7182...` dan is de afgeleide gelijk aan de functie zelf. Dus:

Als `f(x) = text(e)^x` dan is `f'(x) = text(e)^x` .

a

Maak de grafiek van `f(x) = text(e)^x` .

b

Hoe groot is de helling van deze grafiek in `(0, 1)` ?

c

Waar in de grafiek vind je het getal `text(e)` ?

d

Welk hellingsgetal heeft de grafiek van `f(x) = text(e)^x` in het punt `(1, text(e))` ? Stel een vergelijking op van de raaklijn in dat punt.

Opgave 3

Bekijk de grafiek van `f(x) = text(e)^x` .

a

Welke asymptoot heeft die grafiek?

b

Los met behulp van de grafiek op `text(e)^x = 10` .
Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De exacte oplossing van `text(e)^x = 10` is gelijk aan `x=\ ^text(e) log(10 )` .

In plaats van `x=\ ^text(e) log(... )` wordt in de wiskunde `ln(...)` gebruikt. Je rekenmachine heeft een speciale toets voor `ln(...)` .

c

Laat zien dat `ln(10)` dezelfde waarde voor `x` oplevert als bij b.

d

Los nu zowel exact als in drie decimalen nauwkeurig op: `text(e)^x = 20` .

verder | terug