Werken met e > Het getal e
12345Het getal e

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

In GeoGebra gebruik je gewoon y = Afgeleide(f) om een afgeleide in beeld te krijgen.

In Desmos gebruik je om een afgeleide in beeld te krijgen.

Met een grafische rekenmachine is het iets meer werk, zie dit practicum op de Math4all site.

Beide grafieken hebben dezelfde vorm, dus van heeft de afgeleide dezelfde vorm.

b

De grafiek van is een horizontale lijn, dus deze functie heeft steeds dezelfde uitkomst.
Kennelijk is (de afgeleide dus) recht evenredig met .

c

Voor deze exponentiële functie is .
Dat geldt ook als het grondtal een ander getal is.

d

Nee.

Opgave 1
a

Gebruik de applet.
Als je punt op zet, kun je die factor meteen aflezen.

b

Je vindt .

c

Nu vind je achtereenvolgens en .

d

Dit getal is ongeveer (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).

Opgave 2
a

Gebruik GeoGebra, Desmos, of de GR.

b

c

Dat is de -waarde bij .

d

Het hellingsgetal in dit punt is en de vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 3
a

b

Zet in je grafiek ook de lijn en bepaal het snijpunt met de grafiek van .
Je vindt .

c

Doen.

d

Je vindt .

Opgave 4
a

en dus .

b

Uit de grafiek lees je af .

In het voorbeeld staat en , dus dat komt overeen.

c

Je vindt .

Opgave 5
a

.

Of: en dus .

b

.

Of: en dus .

c

geeft dus .

d

geeft .

Opgave 6
a

Bij hoort .

b

.

c

.

Opgave 7
a

, dus de groeifactor per uur is ongeveer .

b

Omdat is de raaklijn .

Omdat gaat de raaklijn door .

De bijbehorende vergelijking is .

Opgave 8
a

De groeifactor is .

Dat er van verval sprake is kun je in de formule zien aan het minteken in de exponent.

b

betekent .
Dus en jaar.

c


, dus op is de groeisnelheid bijen per jaar minder.
Het verval is zichtbaar aan het minteken van de afgeleide.

Opgave 9
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij be bijbehorende -waarde moet kunnen aflezen.

als .

b

geeft en dus .

c

geeft .

, dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm .

, dus de raaklijn gaat door en dus is , zodat .

De vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 10
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij be bijbehorende -waarde moet kunnen aflezen.

als .

b

geeft en dus .

c

geeft .

, dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm .

, dus de raaklijn gaat door en dus is , zodat .

De vergelijking van de raaklijn is .

Opgave 11
a

, dus dat is een groeipercentage van ongeveer % per jaar.

b

inwoners.

c

geeft .
Hieruit volgt en dus jaar.

Dus in de loop van 2037.

d

geeft .
mensen, dat is ongeveer miljoen mensen per jaar.

Opgave 12
a

b

c

d

geeft en dus .

Opgave 13
a

geeft en zodat .

b

geeft en zodat minuten. Dus vanaf de twaalfde minuut is dit het geval.

c

Het uitstromen zal dan sneller gaan. moet daartoe een negatief getal verder van en dus kleiner worden.

Je kunt dit aan de afgeleide zien: . Hoe negatiever het getal hoe steiler de hellingen naar beneden lopen, dus hoe groter de uitstroomsnelheid.

Opgave A1Gas in spouwmuur
Gas in spouwmuur
a

geeft en dagen.

b

en geeft dagen.

Opgave A2Sauna
Sauna
a

geeft .

Dus /

min, dus het tijdstip is 17:02 uur.

b


Vul je voor positieve toenemende waarden in, dan geeft positieve uitkomsten die steeds dichter naar gaan. Dan geeft negatieve uitkomsten die ook steeds dichter naar gaan. En dan geeft positieve uitkomsten die steeds dichter naar gaan.
De grafiek van is voortdurend positief en dan is voortdurend stijgend. Doordat steeds kleiner wordt (maar wel positief blijft) is afnemend stijgend. De conclusie is juist.

c

en dit betekent: als de temperatuur een uur lang met dezelfde snelheid blijft stijgen als ze stijgt op het tijdstip , dan is de temperatuur  °C gestegen.

d

geeft en .

Opgave A3Maximale waterdampdruk
Maximale waterdampdruk
a

Formule: Pa.

Tabel: Pa.

b

Formule: Pa.

Tabel: Pa.

c

Bij a: de berekende waarde is  % hoger.

Bij 5: de berekende waarde is  % dus % lager.

d
beide zijden delen door
beide zijden toepassen
beide zijden maal
beide zijden delen door
beide zijden
e

De berekende waarde is °C.

De tabelwaarde zit tussen °C en °C.

Beide komen netjes overeen.

Opgave T1
a

Horizontale asymptoot .

b

.

c

geeft dus de raaklijn is .

d

geeft en .
De grafiek geeft .

Opgave T2
a

, dus de groeifactor per uur is ongeveer .

b

geeft .

bacteriën per uur.

verder | terug