Gebruik de applet.
Als je punt `P` op `(0, 1)` zet, kun je die factor meteen aflezen.

Je vindt `c ~~ 0,92` .

Nu vind je achtereenvolgens `c ~~ 0,99` en `c ~~ 1,03` .

Dit getal is ongeveer `2,72` (als je voor niet meer dan twee decimalen gaat).

Gebruik GeoGebra, Desmos, of de GR.

`f'(0) = text(e)^0 = 1`

Dat is de `y` -waarde bij `x = 1` .

Het hellingsgetal in dit punt is `text(e)` en de vergelijking van de raaklijn is `y = text(e)x - text(e)` .

`y=0`

Zet in je grafiek ook de lijn `y=10` en bepaal het snijpunt met de grafiek van  `f` .
Je vindt `x ~~ 2,30` .

Doen.

Je vindt `x = ln(20) ~~ 2,996` .

`f'(3) = text(e)^3` en `f(3) = text(e)^3` dus `y = text(e)^3 x - text(e)^3` .

Uit de grafiek lees je af `x le 1,1` .

In het voorbeeld staat `x le ln(3)` en `ln(3) ~~ 1,099` , dus dat komt overeen.

Je vindt `x ≤ ln(20)` .

`x = \ ^2log(1/8) = text(-)3` .

Of: `2^x = 1/(2^3) = 2^(text(-)3)` en dus `x=text(-)3` .

`x = \ ln(1/(text(e)^3)) = text(-)3` .

Of: `text(e)^x = 1/(text(e)^3) = text(e)^(text(-)3)` en dus `x=text(-)3` .

`5text(e)^x = 125` geeft `text(e)^x = 25` dus `x = ln(25) ~~ 3,219` .

`text(e)^x = text(e)^(1,5)` geeft `x = 1,5` .

Bij `y = 1` hoort `x = text(e)` .

`x = text(e)^5 ~~ 148,4` .

`0,007 ≤ x ≤ 148,413` .

`N(t) = 50*text(e)^(1,10t) = 50*(text(e)^(1,10))^t ~~ 50*3,00^3` , dus de groeifactor per uur is ongeveer `3` .

Omdat `f'(0) = 2text(e)^0 - 3text(e)^0 = text(-)1` is de raaklijn `y = text(-)x + b` .

Omdat `f(0) = text(e)^0 - 3text(e)^0 = text(-)2` gaat de raaklijn door `(0, text(-)2)` .

De bijbehorende vergelijking is `y = text(-)x - 2` .

De groeifactor is `text(e)^(text(-)0,01) ~~ 0,99` .

Dat er van verval sprake is kun je in de formule zien aan het minteken in de exponent.

`12*10^3 * text(e)^(text(-)0,01t) = 6*10^3` betekent `text(e)^(text(-)0,01t) = 0,5` .
Dus `text(-)0,01t = ln(0,5) ~~ text(-)0,693` en `t ~~ 69` jaar.

`N(t) = 12*10^3 * text(e)^(text(-)0,01t) * text(-)0,01 = text(-)120*text(e)^(text(-)0,01t)`
`N'(0) = text(-)120` , dus op `t=0` is de groeisnelheid `120` bijen per jaar minder.
Het verval is zichtbaar aan het minteken van de afgeleide.

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij `y=12` be bijbehorende `x` -waarde moet kunnen aflezen.

`f(x) = 12` als `x ~~ 1,4` .

`f(x) = 3*text(e)^x = 12` geeft `text(e)^x = 4` en dus `x = ln(4) ~~ 1,39` .

`f(x) = 3*text(e)^x` geeft `f'(x) = 3*text(e)^x` .

`f'(0) = 3` , dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = 3x + b` .

`f(0) = 3` , dus de raaklijn gaat door `(0, 3)` en dus is `3 = 3*0 + b` , zodat `b=3` .

De vergelijking van de raaklijn is `y = 3x + 3` .

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Denk er om dat je op de verticale as in ieder geval bij `y=12` be bijbehorende `x` -waarde moet kunnen aflezen.

`g(x) = 12` als `x ~~ 0,8` .

`g(x) = text(e)^(3x) = 12` geeft `3x = ln(12)` en dus `x = 1/3 ln(12) ~~ 0,83` .

`g(x) = text(e)^(3x)` geeft `g'(x) = 3*text(e)^(3x)` .

`g'(0) = 3` , dus de raaklijn heeft een vergelijking van de vorm `y = 3x + b` .

`g(0) = 1` , dus de raaklijn gaat door `(0, 1)` en dus is `1 = 3*0 + b` , zodat `b=1` .

De vergelijking van de raaklijn is `y = 3x + 1` .

`text(e)^(0,019) ~~ 1,0192` , dus dat is een groeipercentage van ongeveer `1,9` % per jaar.

`N(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019*20) ~~ 1,651 * 10^9` inwoners.

`1,129*10^9 * text(e)^(0,019t) = 2*10^9` geeft `text(e)^(0,019t) ~~ 1,771` .
Hieruit volgt `0,019t ~~ ln(1,771)` en dus `t ~~ 30,1` jaar.

Dus in de loop van 2037.

`N(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019t)` geeft `N'(t) = 1,129*10^9 * text(e)^(0,019t) * 0,019 ~~ 0,021*10^9*text(e)^(0,019t)` .
`N'(13) ~~ 0,027*10^9` mensen, dat is ongeveer `27` miljoen mensen per jaar.

`x = ln(3) ~~ 1,099`

`x = 3/(text(e)) ~~ 1,104`

`x = text(e)^3 ~~ 20,086`

`text(e)^(0,1x) = 20` geeft `0,1x = ln(2)` en dus `x = 10 ln(2) ~~ 29,957` .

`h(5) = 0,5*text(e)^(k*5) = 0,25` geeft `text(e)^(5k) = 0,5` en `5k = ln(0,5)` zodat `k ~~ text(-)0,14` .

`h(t) = 0,5*text(e)^(text(-)0,14t) lt 0,1`

`0,5*text(e)^(text(-)0,14t) = 0,1` geeft `text(e)^(text(-)0,14t) = 0,2` en `text(-)0,14t = ln(0,2)` zodat `t ~~ 11,6` minuten. Dus vanaf de twaalfde minuut is dit het geval.

Het uitstromen zal dan sneller gaan. `k` moet daartoe een negatief getal verder van `0` en dus kleiner worden.

Je kunt dit aan de afgeleide zien: `h'(t) = 0,5k * text(e)^(k*t)` . Hoe negatiever het getal `k` hoe steiler de hellingen naar beneden lopen, dus hoe groter de uitstroomsnelheid.

`text(e)^(text(-)0,1t) = 0,5` geeft `text(-)0,1t = ln(0,5)` en `t=text(-)10ln(0,5)~~6,9` dagen.

`C(0)=17` en `17*text(e)^(text(-)0,1t) = 2` geeft `t=text(-)10ln(2/17)~~ 21,4` dagen.

`200-180*text(e)^(text(-)0,29t) = 100` geeft `text(e)^(text(-)0,29t) = 5/9` .

Dus `t = (ln(5/9))/(text(-)0,29) ~~ 2,027` /

`0,027*60~~2` min, dus het tijdstip is 17:02 uur.

`S'=text(-)180*text(-)0,29*text(e)^(text(-)0,29t)`
Vul je voor `t` positieve toenemende waarden in, dan geeft `text(e)^(text(-)0,29t)` positieve uitkomsten die steeds dichter naar `0` gaan. Dan geeft `text(-)0,29*e^(text(-)0,29t)` negatieve uitkomsten die ook steeds dichter naar `0` gaan. En dan geeft `text(-)180*text(-)0,29*e^(text(-)0,29t)` positieve uitkomsten die steeds dichter naar `0` gaan.
De grafiek van `S'` is voortdurend positief en dan is `S` voortdurend stijgend. Doordat `S'` steeds kleiner wordt (maar wel positief blijft) is `S` afnemend stijgend. De conclusie is juist.

`S'(1)~~39,1` en dit betekent: als de temperatuur een uur lang met dezelfde snelheid blijft stijgen als ze stijgt op het tijdstip `t=1` , dan is de temperatuur `39,1`  °C gestegen.

`text(e)^(text(-)0,29t) = (200-S)/180` geeft `text(-)0,29t = ln((200-S)/180)` en `t = (ln((200-S)/180))/(text(-)0,29)` .

Formule: `p_(text(max)) = 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(20+234)) ~~ 2340,4` Pa.

Tabel: `2,34*10^3 = 2340` Pa.

Formule: `p_(text(max)) = 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(text(-)20+234)) ~~ 123,7` Pa.

Tabel: `0,125*10^3 = 125` Pa.

Bij a: de berekende waarde is `(2340,4-2340)/2340 * 100 ~~ 0,02`  % hoger.

Bij 5: de berekende waarde is `(123,7-125)/125 * 100 = text(-)1,04`  % dus `1,04` % lager.

`p_(text(max))`	`=`	`1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234))`	beide zijden delen door `1,59 * 10^10`
`(p_(text(max)))/(1,59 * 10^10)`	`=`	`text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234))`	beide zijden `ln` toepassen
`ln((p_(text(max)))/(1,59 * 10^10))`	`=`	`(text(-)3995,8)/(t+234)`	beide zijden maal `t+234`
`(t+234)ln((p_(text(max)))/(1,59 * 10^10))`	`=`	`text(-)3995,8`	beide zijden delen door `ln((p_(text(max)))/(1,59 * 10^10))`
`t+234`	`=`	`(text(-)3995,8)/(ln((p_(text(max)))/(1,59 * 10^10)))`	beide zijden `- 234`
`t`	`=`	`(text(-)3995,8)/(ln((p_(text(max)))/(1,59 * 10^10))) - 234`

De berekende waarde is `(text(-)3995,8)/(ln((3456)/(1,59 * 10^10))) - 234 ~~ 26,5` °C.

De tabelwaarde zit tussen `26` °C en `27` °C.

Beide komen netjes overeen.

Horizontale asymptoot `y = 0` .

`x = ln(2) ~~ 0,69` .

`f'(x) = 4text(e)^x` geeft `f'(1) = 4text(e)` dus de raaklijn is `y = 4text(e)x + b` .

`4 text(e)^x = 6` geeft `text(e)^x = 1,5` en `x = ln(1,5)` .
De grafiek geeft `x ≤ ln(1,5)` .

`N(t) = 120*text(e)^(0,95t) = 120*(text(e)^(0,95))^t ~~ 120*2,59^3` , dus de groeifactor per uur is ongeveer `2,6` .

`N(t) = 120*text(e)^(0,95t)` geeft `N'(t) = 120*text(e)^(0,95t)*0,95 = 114*text(e)^(0,95t)` .

`N'(0) = 114*text(e)^(0) = 114` bacteriën per uur.