`g'(x) = ln(3) * 3^x ~~ 1,10*3^x` .

`h'(x) = ln(0,5) * 0,5^x ~~ text(-)0,69*0,5^x` .

`f'(x) = 200 * ln(1,5) * 1,5^x = ~~ 81,1*1,5^x` .

`f'(x) = 20 * ln(1,2) * 1,2^x ~~ 13,9*1,2^x` .

`2^x = text(e)^(c*x)` betekent `2 = text(e)^c` dus `c = \ ^text(e)log(2) = ln(2)` . En `ln(2) = 0,6931471...`

`f'(x) = text(e)^(0,69x)*0,69 = 0,69*text(e)^(0,69x) ~~ 0,69*2^x` omdat `text(e)^(0,69) ~~ 2` .

`N(t) = 200*1,2^t = 200*text(e)^(k*t)` betekent `text(e)^k = 1,2` en dus `k = ln(1,2) ~~ 0,18`

Dus `N(t) = 200*1,2^t ~~ 200*text(e)^(0,18t)` .

`N(t) = 200*1,2^t` geeft `N'(t) = 200*ln(1,2)*1,2^t ~~ 36,5*1,2^t` .

`N(t) = 200*text(e)^(0,18t)` geeft `N'(t) = 200*text(e)^(0,18t)*0,18 ~~ 36,5*text(e)^(0,18t)` .

En `text(e)^(0,18) ~~ 1,2` .

Omdat `8 = text(e)^(ln(8)) ~~ text(e)^(2,079...)` is `N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)` (afgerond op één decimaal).

Als `N(t) = 50*8^t` is `N'(t) = 50*ln(8)*8^t ~~ 104*8^t` en dus is `N'(0) ~~ 104` bacteriën per uur.

Als `N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)` is `N'(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)*2,1 ~~ 105*text(e)^(2,1t)` en dus is `N'(0) ~~ 105` bacteriën per uur.

Het verschil ontstaat door tussentijds afronden `2,079... ~~ 2,1` .

`f'(x) = ln(1,3) * 1,3^x ~~ 0,26*1,3^x`

`f'(x) = 50 ln(2) * 2^x ~~ 35*2^x`

`f'(x) = text(-)4,8 ln(10) * 10^(0,1x)`

`f'(x) = text(-)10text(e)^(text(-)0,1x)`

`T(0) = 50-40 = 10` °C.

De groeisnelheid is: `N'(t)= text(-)40*ln(0,9)*0,9^t ~~ 4,21*0,9^t` .

Op `t=0` bedraagt de groeisnelheid `N'(0) ~~ 4,21` °C/min.

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. Kies geschikte instellingen voor de assen.

`p(0) = 3,5 - 2,1 * 0,97^0 = 1,4`
`p(10) = 3,5 - 2,1 * 0,97^10 ~~ 2,0` .

`p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6` geeft `t ~~ 25,2` dus vanaf `26` seconden is dat het geval.

`p'(t) = text(-)2,1 * 0,97^t * ln(0,97)` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.

Nu moet `p(t)` de vorm `p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(k*t)` krijgen.
Omdat `text(e)^k = 0,97` moet `k ~~ text(-)0,03` .
Dus `p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t)` .

`p'(t) = text(-)2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t) * text(-)0,03` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.

`f’(x)=1,2^x*ln(1,2) ~~ 0,18 * 1,2^x`

`g’(x)= 30 * 1,2^x*ln(1,2) ~~ 5,47 * 1,2^x`

`N'(t) = text(-)15 * 0,8^t * ln(0,8) ~~ text(-)3,35 * 0,8^t`

Nu moet `P(t) = 2400*text(e)^(k*t)` .

Uit `text(e)^k = 2,5` volgt `k = ln(2,5) ~~ 0,92` .

Dus `P(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)` .

En `P'(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)*0,92 ~~ 2199 * text(e)^(0,92t)` , dus `P'(0) ~~ 2199` .

Nu moet `N(t) = 40+20*text(e)^(k*t)` .

Uit `text(e)^k = 0,85` volgt `k = ln(0,85) ~~ text(-)0,16` .

Dus `N(t) ~~ 40+20*text(e)^(text(-)0,16t)` .

En `N'(t) ~~ 20*text(e)^(text(-)0,16t)*text(-)0,16 ~~ text(-)3,25 * text(e)^(text(-)0,16t)` , dus `N'(0) ~~ text(-)0,16` .

`p'(h) = 1013*10^(text(-)0,53h)*ln(10)*text(-)0,53 ~~ text(-)1236*10^(text(-)0,53h)` en dus `p'(5) ~~ text(-)2,8` hPa/km.

`p(h) = 1013*10^(text(-)0,53h) ~~ 1013*0,295^h` geeft `p'(h) = 1013*0,295^h*ln(0,295) ~~ text(-)1237*0,295^h` . Hieruit volgt `p'(5) ~~ text(-)2,8` hPa/km.

Grafiek is stijgend vanaf `(0,6)` naar horizontale asymptoot `T = 20` .

De snelheid van temperatuurverandering is `T'(t) = text(-)14 text(e)^(text(-)0,16t)* text(-)0,16 ~~ 2,24*text(e)^(text(-)0,16t)` .

Het temperatuurverschil met de omgeving is `Delta T = 20 - (20 - 14text(e)^(text(-)0,16t)) = 14*text(e)^(text(-)0,16t)` .

Er geldt: `T'(t) = (2,24)/14*Delta T` . Dus de snelheid van opwarmen is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.

`T'(0) ~~ 2,24` en `T'(15) ~~ 0,20`  °C/min. De opwarming verloopt steeds langzamer.

De halveringstijd is 8,06 dagen, dus `text(e)^(text(-)8,06k) = 0,5` . Dan is `text(-)8,06k = ln(0,5)` , dus `k ~~ 0,086` . De formule wordt dan: `m = m_0 text(e)^(text(-)0,086t)` .

`5,00 * text(e)^(-0,086t) ~~ 1,40` , dus ongeveer `1,4` gram.

`m' = 0,086 * m` dus de evenredigheidsconstante is `0,086` .

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,10` geeft `t ~~ 27` , dus na `27` dagen.

Ook na ongeveer `27` dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

`5,00 * text(e)^(text(-)0,086t) = 0,005` geeft `t ~~ 80,3` , dus na `81` dagen.
Theoretisch gesproken is de stof nooit volledig verdwenen, want de grafiek van `N` nadert wel steeds dichter naar `N = 0` als `t` groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.

Doen.

`N(t) = 100 * 0,9996^t` geeft `N'(t) = 100 * ln(0,9996) * 0,9996^t ~~ text(-)0,043 * 0,9996^t` .
`N(t) = 100 * text(e)^(text(-)0,00043t)` geeft `N'(t) = 100 * text(-)0,00043 * text(e)^(text(-)0,00043t) = text(-)0,043 * text(e)^(text(-)0,00043t)` .
`N(t) = 100 * 10^(text(-)0,00019t)` geeft `N'(t) = 100 * text(-)0,00019 * ln(10) * text(e)^(text(-)0,00019t) = text(-)0,043 * 10^(text(-)0,00019t)` .
`N'(0) ~~ text(-)0,043` .

`N'(90) ~~ text(-)0,0414` , dus je ziet de vervalsnelheid kleiner worden.

`100 * text(e)^(text(-)0,00043t) = 20` geeft `text(-)0,00043t = ln(0,20)` en `t ~~ 3743` . Dus na ongeveer `3750` jaar.

`text(e)^(5600k) = 0,5` geeft `k = (ln(0,5))/(5600) ~~ text(-)0,000124` .

`t = (ln(0,79))/(k) ~~ 1900` jaar.

`t = (ln(0,65))/(k) ~~ 3500` jaar.

`t = (ln(0,33))/(k) ~~ 9000` jaar.

`H'(t) ~~ text(-)2,08*0,5^t`
`H'(1) ~~ text(-)1,04`

`N'(t) = 15*text(e)^(text(-)0,50t)`
`N'(1) ~~ 9,10`

`text(e)^(text(-)alpha) = 0,4` geeft `alpha = text(-)ln(0,4) ~~ 0,916` .

`text(e)^(text(-)ln(0,4) * d) = 0,01` geeft `d = (ln(0,01))/(text(-)ln(0,4)) ~~ 5,03` . Dus ongeveer `5` cm.

`I'(0) = text(-)100ln(0,4) ~~ 91,6` % cm.