Werken met e

Werken met e > Exponentiële functies

12345Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

Je krijgt nu een horizontale lijn als grafiek.
Dat betekent dat $f'(x)$ te berekenen is door $f(x)$ met een vast getal te vermenigvuldigen, $f'(x) = c* f(x)$ . Dit heb je al eerder gezien.

$f'(x)=ln(2 ) * 2^x$

Maak de grafieken van $g$ en zijn afgeleide.
Maak daarbij de grafiek van $y=ln(3)*3^x$ .
Als het goed is vallen de grafiek van $g'$ en $y=ln(3)*3^x$ samen.

Opgave 1

$g'(x) = ln(3) * 3^x ~~ 1,10*3^x$ .

$h'(x) = ln(0,5) * 0,5^x ~~ text(-)0,69*0,5^x$ .

$f'(x) = 200 * ln(1,5) * 1,5^x = ~~ 81,1*1,5^x$ .

$f'(x) = 20 * ln(1,2) * 1,2^x ~~ 13,9*1,2^x$ .

Opgave 2

$2^x = text(e)^(c*x)$ betekent $2 = text(e)^c$ dus $c = \ ^text(e)log(2) = ln(2)$ . En $ln(2) = 0,6931471...$

$f'(x) = text(e)^(0,69x)*0,69 = 0,69*text(e)^(0,69x) ~~ 0,69*2^x$ omdat $text(e)^(0,69) ~~ 2$ .

$N(t) = 200*1,2^t = 200*text(e)^(k*t)$ betekent $text(e)^k = 1,2$ en dus $k = ln(1,2) ~~ 0,18$

Dus $N(t) = 200*1,2^t ~~ 200*text(e)^(0,18t)$ .

$N(t) = 200*1,2^t$ geeft $N'(t) = 200*ln(1,2)*1,2^t ~~ 36,5*1,2^t$ .

$N(t) = 200*text(e)^(0,18t)$ geeft $N'(t) = 200*text(e)^(0,18t)*0,18 ~~ 36,5*text(e)^(0,18t)$ .

En $text(e)^(0,18) ~~ 1,2$ .

Opgave 3

Omdat $8 = text(e)^(ln(8)) ~~ text(e)^(2,079...)$ is $N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)$ (afgerond op één decimaal).

Als $N(t) = 50*8^t$ is $N'(t) = 50*ln(8)*8^t ~~ 104*8^t$ en dus is $N'(0) ~~ 104$ bacteriën per uur.

Als $N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)$ is $N'(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)*2,1 ~~ 105*text(e)^(2,1t)$ en dus is $N'(0) ~~ 105$ bacteriën per uur.

Het verschil ontstaat door tussentijds afronden $2,079... ~~ 2,1$ .

Opgave 4

Gebruik alle tot nu toe geleerde differentieerregels. Controleer pas je antwoord als je ze allemaal hebt gemaakt. Heb je fouten gemaakt? Bekijk dan goed wat je fout deed!

Opgave 5

$f'(x) = ln(1,3) * 1,3^x ~~ 0,26*1,3^x$

$f'(x) = 50 ln(2) * 2^x ~~ 35*2^x$

$f'(x) = text(-)4,8 ln(10) * 10^(0,1x)$

$f'(x) = text(-)10text(e)^(text(-)0,1x)$

Opgave 6

$T(0) = 50-40 = 10$ °C.

De groeisnelheid is: $N'(t)= text(-)40*ln(0,9)*0,9^t ~~ 4,21*0,9^t$ .

Op $t=0$ bedraagt de groeisnelheid $N'(0) ~~ 4,21$ °C/min.

Opgave 7

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. Kies geschikte instellingen voor de assen.

$p(0) = 3,5 - 2,1 * 0,97^0 = 1,4$
$p(10) = 3,5 - 2,1 * 0,97^10 ~~ 2,0$ .

$p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6$ geeft $t ~~ 25,2$ dus vanaf $26$ seconden is dat het geval.

$p'(t) = text(-)2,1 * 0,97^t * ln(0,97)$ en dus is $p'(0) ~~ 0,07$ atm/s.

Nu moet $p(t)$ de vorm $p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(k*t)$ krijgen.
Omdat $text(e)^k = 0,97$ moet $k ~~ text(-)0,03$ .
Dus $p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t)$ .

$p'(t) = text(-)2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t) * text(-)0,03$ en dus is $p'(0) ~~ 0,07$ atm/s.

Opgave 8

$f’(x)=1,2^x*ln(1,2) ~~ 0,18 * 1,2^x$

$g’(x)= 30 * 1,2^x*ln(1,2) ~~ 5,47 * 1,2^x$

$N'(t) = text(-)15 * 0,8^t * ln(0,8) ~~ text(-)3,35 * 0,8^t$

Opgave 9

Nu moet $P(t) = 2400*text(e)^(k*t)$ .

Uit $text(e)^k = 2,5$ volgt $k = ln(2,5) ~~ 0,92$ .

Dus $P(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)$ .

En $P'(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)*0,92 ~~ 2199 * text(e)^(0,92t)$ , dus $P'(0) ~~ 2199$ .

Nu moet $N(t) = 40+20*text(e)^(k*t)$ .

Uit $text(e)^k = 0,85$ volgt $k = ln(0,85) ~~ text(-)0,16$ .

Dus $N(t) ~~ 40+20*text(e)^(text(-)0,16t)$ .

En $N'(t) ~~ 20*text(e)^(text(-)0,16t)*text(-)0,16 ~~ text(-)3,25 * text(e)^(text(-)0,16t)$ , dus $N'(0) ~~ text(-)0,16$ .

Opgave 10

$p'(h) = 1013*10^(text(-)0,53h)*ln(10)*text(-)0,53 ~~ text(-)1236*10^(text(-)0,53h)$ en dus $p'(5) ~~ text(-)2,8$ hPa/km.

$p(h) = 1013*10^(text(-)0,53h) ~~ 1013*0,295^h$ geeft $p'(h) = 1013*0,295^h*ln(0,295) ~~ text(-)1237*0,295^h$ . Hieruit volgt $p'(5) ~~ text(-)2,8$ hPa/km.

Opgave 11

Grafiek is stijgend vanaf $(0,6)$ naar horizontale asymptoot $T = 20$ .

De snelheid van temperatuurverandering is $T'(t) = text(-)14 text(e)^(text(-)0,16t)* text(-)0,16 ~~ 2,24*text(e)^(text(-)0,16t)$ .

Het temperatuurverschil met de omgeving is $Delta T = 20 - (20 - 14text(e)^(text(-)0,16t)) = 14*text(e)^(text(-)0,16t)$ .

Er geldt: $T'(t) = (2,24)/14*Delta T$ . Dus de snelheid van opwarmen is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.

$T'(0) ~~ 2,24$ en $T'(15) ~~ 0,20$ °C/min. De opwarming verloopt steeds langzamer.

Opgave 12

De halveringstijd is 8,06 dagen, dus $text(e)^(text(-)8,06k) = 0,5$ . Dan is $text(-)8,06k = ln(0,5)$ , dus $k ~~ 0,086$ . De formule wordt dan: $m = m_0 text(e)^(text(-)0,086t)$ .

$5,00 * text(e)^(-0,086t) ~~ 1,40$ , dus ongeveer $1,4$ gram.

$m' = 0,086 * m$ dus de evenredigheidsconstante is $0,086$ .

$text(e)^(text(-)0,086t) = 0,10$ geeft $t ~~ 27$ , dus na $27$ dagen.

Ook na ongeveer $27$ dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.

$5,00 * text(e)^(text(-)0,086t) = 0,005$ geeft $t ~~ 80,3$ , dus na $81$ dagen.
Theoretisch gesproken is de stof nooit volledig verdwenen, want de grafiek van $N$ nadert wel steeds dichter naar $N = 0$ als $t$ groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.

Opgave A1

Doen.

$N(t) = 100 * 0,9996^t$ geeft $N'(t) = 100 * ln(0,9996) * 0,9996^t ~~ text(-)0,043 * 0,9996^t$ .
$N(t) = 100 * text(e)^(text(-)0,00043t)$ geeft $N'(t) = 100 * text(-)0,00043 * text(e)^(text(-)0,00043t) = text(-)0,043 * text(e)^(text(-)0,00043t)$ .
$N(t) = 100 * 10^(text(-)0,00019t)$ geeft $N'(t) = 100 * text(-)0,00019 * ln(10) * text(e)^(text(-)0,00019t) = text(-)0,043 * 10^(text(-)0,00019t)$ .
$N'(0) ~~ text(-)0,043$ .

$N'(90) ~~ text(-)0,0414$ , dus je ziet de vervalsnelheid kleiner worden.

$100 * text(e)^(text(-)0,00043t) = 20$ geeft $text(-)0,00043t = ln(0,20)$ en $t ~~ 3743$ . Dus na ongeveer $3750$ jaar.

Opgave A2

$text(e)^(5600k) = 0,5$ geeft $k = (ln(0,5))/(5600) ~~ text(-)0,000124$ .

$t = (ln(0,79))/(k) ~~ 1900$ jaar.

$t = (ln(0,65))/(k) ~~ 3500$ jaar.

$t = (ln(0,33))/(k) ~~ 9000$ jaar.

Opgave T1

$H'(t) ~~ text(-)2,08*0,5^t$
$H'(1) ~~ text(-)1,04$

$N'(t) = 15*text(e)^(text(-)0,50t)$
$N'(1) ~~ 9,10$

Opgave T2

$text(e)^(text(-)alpha) = 0,4$ geeft $alpha = text(-)ln(0,4) ~~ 0,916$ .

$text(e)^(text(-)ln(0,4) * d) = 0,01$ geeft $d = (ln(0,01))/(text(-)ln(0,4)) ~~ 5,03$ . Dus ongeveer $5$ cm.

$I'(0) = text(-)100ln(0,4) ~~ 91,6$ % cm.

verder | terug