Werken met e

Werken met e > Exponentiële functies

12345Exponentiële functies

Uitleg

Hier zie je de grafiek van $f(x)=2^x$ en de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek, de grafiek van de afgeleide.
Die afgeleide is een veelvoud van de functie zelf: $f'(x) = c*2^x$ .
Je kunt de waarde van $c$ aflezen bij $x=0$ want $f'(0) = c*2^0 = c$ . Je ziet $f'(0) ~~ 0,69$ .

Maar je kunt de waarde van $c$ ook zelf berekenen: $c = ln(2)$ .

De afgeleide van $f(x) = 2^x$ is $f'(x) = ln(2)*2^x$ .

Je kunt dit vinden door de functie $f$ van grondtal te veranderen:

$f(x) = text(e)^(c*x)$ met $f'(x) = text(e)^(c*x) * c$ (kettingregel!).

En omdat $text(e)^(c*x) = 2^x$ moet $text(e)^c = 2$ , dus $c=ln(2)$ .

Zo'n redenering kun je ook op elk ander grondtal toepassen.
Dus de afgeleide van $f(x)=g^x$ is $f' (x)=g^x*ln(g)$ .

Opgave 1

In de Uitleg wordt de afgeleide van $f(x) = 2^x$ bepaald: $f'(x) = ln(2)*2^x ~~ 0,69*2^x$ .

Bepaal de afgeleide van $g(x) = 3^x$ .

Bepaal de afgeleide van $h(x) = 0,5^x$ .

Bepaal de afgeleide van $f(x) = 200*1,5^x$ .

Bepaal de afgeleide van $f(x) = 20*1,2^x + 140$ .

Opgave 2

In de Uitleg wordt de functie $f(x)= 2^x$ omgeschreven naar de vorm $f(x) = text(e)^(c*x)$ omdat de afgeleide van een $text(e)$ -macht gemakkelijk is te bepalen.

Laat zelf zien, dat $2^x ~~ text(e)^(0,69x)$ .
Leg ook uit dat die $0,69$ eigenlijk $ln(2)$ is.

Bepaal de afgeleide van $f(x) = text(e)^(0,69x)$ met behulp van de kettingregel en laat zien dat deze afgeleide is te schrijven als $f'(x) = 0,69*2^x$ .

Schrijf de functie $N(t) = 200*1,2^t$ in de vorm $N(t) = 200*text(e)^(k*t)$ .

Bepaal de afgeleide van $N(t)$ op twee manieren, eerst vanuit de vorm $N(t) = 200*1,2^t$ en daarna vanuit de vorm met grondtal $text(e)$ . Laat zien dat beide afgeleiden hetzelfde zijn.

Opgave 3

Je hebt in de Uitleg gezien hoe je van een exponentiële functie met grondtal $2$ een exponentiële functie met grondtal $text(e)$ maakt.

Een bacterie groeit onder bepaalde omstandigheden volgens de groeiformule:

$N(t) = 50*8^t$

Hierin is:

$N$ het aantal bacteriën per kolonie
$t$ de tijd in uren

Laat zien, dat je deze formule ook kunt schrijven als $N(t) = 50*text(e)^(2,1t)$ .

Bereken de groeisnelheid van deze bacteriën op $t=0$ .
Gebruik eerst de gegeven formule en daarna de formule bij a. Laat zien dat beide uitkomsten gelijk zijn.

verder | terug