Werken met e > Exponentiële functies
12345Exponentiële functies

Uitleg

Hier zie je de grafiek van en de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek, de grafiek van de afgeleide.
Die afgeleide is een veelvoud van de functie zelf: .
Je kunt de waarde van aflezen bij want . Je ziet .

Maar je kunt de waarde van ook zelf berekenen: .

De afgeleide van is .

Je kunt dit vinden door de functie van grondtal te veranderen:

met (kettingregel!).

En omdat moet , dus .

Zo'n redenering kun je ook op elk ander grondtal toepassen.
Dus de afgeleide van is .

Opgave 1

In de Uitleg wordt de afgeleide van bepaald: .

a

Bepaal de afgeleide van .

b

Bepaal de afgeleide van .

c

Bepaal de afgeleide van .

c

Bepaal de afgeleide van .

Opgave 2

In de Uitleg wordt de functie omgeschreven naar de vorm omdat de afgeleide van een -macht gemakkelijk is te bepalen.

a

Laat zelf zien, dat .
Leg ook uit dat die eigenlijk is.

b

Bepaal de afgeleide van met behulp van de kettingregel en laat zien dat deze afgeleide is te schrijven als .

c

Schrijf de functie in de vorm .

d

Bepaal de afgeleide van op twee manieren, eerst vanuit de vorm en daarna vanuit de vorm met grondtal . Laat zien dat beide afgeleiden hetzelfde zijn.

Opgave 3

Je hebt in de Uitleg gezien hoe je van een exponentiële functie met grondtal een exponentiële functie met grondtal maakt.

Een bacterie groeit onder bepaalde omstandigheden volgens de groeiformule:

Hierin is:

  • het aantal bacteriën per kolonie

  • de tijd in uren

a

Laat zien, dat je deze formule ook kunt schrijven als .

b

Bereken de groeisnelheid van deze bacteriën op .
Gebruik eerst de gegeven formule en daarna de formule bij a. Laat zien dat beide uitkomsten gelijk zijn.

verder | terug