Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Je krijgt nu een horizontale lijn als grafiek.
Dat betekent dat
`f'(x)`
te berekenen is door
`f(x)`
met een vast getal te vermenigvuldigen,
`f'(x) = c* f(x)`
. Dit heb je al eerder gezien.
`f'(x)=ln(2 ) * 2^x`
Maak de grafieken van
`g`
en zijn afgeleide.
Maak daarbij de grafiek van
`y=ln(3)*3^x`
.
Als het goed is vallen de grafiek van
`g'`
en
`y=ln(3)*3^x`
samen.
`g'(x) = ln(3) * 3^x ~~ 1,10*3^x` .
`h'(x) = ln(0,5) * 0,5^x ~~ text(-)0,69*0,5^x` .
`f'(x) = 200 * ln(1,5) * 1,5^x = ~~ 81,1*1,5^x` .
`f'(x) = 20 * ln(1,2) * 1,2^x ~~ 13,9*1,2^x` .
`2^x = text(e)^(c*x)` betekent `2 = text(e)^c` dus `c = \ ^text(e)log(2) = ln(2)` . En `ln(2) = 0,6931471...`
`f'(x) = text(e)^(0,69x)*0,69 = 0,69*text(e)^(0,69x) ~~ 0,69*2^x` omdat `text(e)^(0,69) ~~ 2` .
`N(t) = 200*1,2^t = 200*text(e)^(k*t)` betekent `text(e)^k = 1,2` en dus `k = ln(1,2) ~~ 0,18`
Dus `N(t) = 200*1,2^t ~~ 200*text(e)^(0,18t)` .
`N(t) = 200*1,2^t` geeft `N'(t) = 200*ln(1,2)*1,2^t ~~ 36,5*1,2^t` .
`N(t) = 200*text(e)^(0,18t)` geeft `N'(t) = 200*text(e)^(0,18t)*0,18 ~~ 36,5*text(e)^(0,18t)` .
En `text(e)^(0,18) ~~ 1,2` .
Omdat `8 = text(e)^(ln(8)) ~~ text(e)^(2,079...)` is `N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)` (afgerond op één decimaal).
Als `N(t) = 50*8^t` is `N'(t) = 50*ln(8)*8^t ~~ 104*8^t` en dus is `N'(0) ~~ 104` bacteriën per uur.
Als `N(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)` is `N'(t) ~~ 50*text(e)^(2,1t)*2,1 ~~ 105*text(e)^(2,1t)` en dus is `N'(0) ~~ 105` bacteriën per uur.
Het verschil ontstaat door tussentijds afronden `2,079... ~~ 2,1` .
Gebruik alle tot nu toe geleerde differentieerregels. Controleer pas je antwoord als je ze allemaal hebt gemaakt. Heb je fouten gemaakt? Bekijk dan goed wat je fout deed!
`f'(x) = ln(1,3) * 1,3^x ~~ 0,26*1,3^x`
`f'(x) = 50 ln(2) * 2^x ~~ 35*2^x`
`f'(x) = text(-)4,8 ln(10) * 10^(0,1x)`
`f'(x) = text(-)10text(e)^(text(-)0,1x)`
`T(0) = 50-40 = 10` °C.
De groeisnelheid is: `N'(t)= text(-)40*ln(0,9)*0,9^t ~~ 4,21*0,9^t` .
Op `t=0` bedraagt de groeisnelheid `N'(0) ~~ 4,21` °C/min.
Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. Kies geschikte instellingen voor de assen.
`p(0) = 3,5 - 2,1 * 0,97^0 = 1,4`
`p(10) = 3,5 - 2,1 * 0,97^10 ~~ 2,0`
.
`p(t) = 3,5 - 2,1 * 0,97^t = 2,6` geeft `t ~~ 25,2` dus vanaf `26` seconden is dat het geval.
`p'(t) = text(-)2,1 * 0,97^t * ln(0,97)` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.
Nu moet
`p(t)`
de vorm
`p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(k*t)`
krijgen.
Omdat
`text(e)^k = 0,97`
moet
`k ~~ text(-)0,03`
.
Dus
`p(t) = 3,5 - 2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t)`
.
`p'(t) = text(-)2,1 * text(e)^(text(-)0,03*t) * text(-)0,03` en dus is `p'(0) ~~ 0,07` atm/s.
`f’(x)=1,2^x*ln(1,2) ~~ 0,18 * 1,2^x`
`g’(x)= 30 * 1,2^x*ln(1,2) ~~ 5,47 * 1,2^x`
`N'(t) = text(-)15 * 0,8^t * ln(0,8) ~~ text(-)3,35 * 0,8^t`
Nu moet `P(t) = 2400*text(e)^(k*t)` .
Uit `text(e)^k = 2,5` volgt `k = ln(2,5) ~~ 0,92` .
Dus `P(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)` .
En `P'(t) ~~ 2400*text(e)^(0,92t)*0,92 ~~ 2199 * text(e)^(0,92t)` , dus `P'(0) ~~ 2199` .
Nu moet `N(t) = 40+20*text(e)^(k*t)` .
Uit `text(e)^k = 0,85` volgt `k = ln(0,85) ~~ text(-)0,16` .
Dus `N(t) ~~ 40+20*text(e)^(text(-)0,16t)` .
En `N'(t) ~~ 20*text(e)^(text(-)0,16t)*text(-)0,16 ~~ text(-)3,25 * text(e)^(text(-)0,16t)` , dus `N'(0) ~~ text(-)0,16` .
`p'(h) = 1013*10^(text(-)0,53h)*ln(10)*text(-)0,53 ~~ text(-)1236*10^(text(-)0,53h)` en dus `p'(5) ~~ text(-)2,8` hPa/km.
`p(h) = 1013*10^(text(-)0,53h) ~~ 1013*0,295^h` geeft `p'(h) = 1013*0,295^h*ln(0,295) ~~ text(-)1237*0,295^h` . Hieruit volgt `p'(5) ~~ text(-)2,8` hPa/km.
Grafiek is stijgend vanaf `(0,6)` naar horizontale asymptoot `T = 20` .
De snelheid van temperatuurverandering is `T'(t) = text(-)14 text(e)^(text(-)0,16t)* text(-)0,16 ~~ 2,24*text(e)^(text(-)0,16t)` .
Het temperatuurverschil met de omgeving is `Delta T = 20 - (20 - 14text(e)^(text(-)0,16t)) = 14*text(e)^(text(-)0,16t)` .
Er geldt: `T'(t) = (2,24)/14*Delta T` . Dus de snelheid van opwarmen is recht evenredig met het temperatuurverschil met de omgeving.
`T'(0) ~~ 2,24` en `T'(15) ~~ 0,20` °C/min. De opwarming verloopt steeds langzamer.
De halveringstijd is 8,06 dagen, dus `text(e)^(text(-)8,06k) = 0,5` . Dan is `text(-)8,06k = ln(0,5)` , dus `k ~~ 0,086` . De formule wordt dan: `m = m_0 text(e)^(text(-)0,086t)` .
`5,00 * text(e)^(-0,086t) ~~ 1,40` , dus ongeveer `1,4` gram.
`m' = 0,086 * m` dus de evenredigheidsconstante is `0,086` .
`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,10` geeft `t ~~ 27` , dus na `27` dagen.
Ook na ongeveer `27` dagen, want de vervalsnelheid is recht evenredig met de hoeveelheid.
`5,00 * text(e)^(text(-)0,086t) = 0,005`
geeft
`t ~~ 80,3`
, dus na
`81`
dagen.
Theoretisch gesproken is de stof nooit volledig verdwenen, want de grafiek van
`N`
nadert wel steeds dichter naar
`N = 0`
als
`t`
groter wordt, maar die waarde wordt nooit echt bereikt.
De hoeveelheid afvalwater `V(t)` neemt met de tijd steeds af.
`V'(t) = 100*0,98^t*ln(0,98) = text(-)0,50` geeft `0,98^t ~~ 0,25` en dus `t ~~ \ ^(0,98)log(0,25) ~~68,1` min.
Teken een raaklijn aan de grafiek voor `t=68` min en controleer of de helling ervan ongeveer `text(-)0,5` is.
Voor vat A is de groeifactor van de waterhoogte het kleinst, dus daar zakt het waterniveau het snelst.
Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. Ook het snijpunt kun je daarmee laten berekenen. Ga na, dat je hetzelfde krijgt als bij c.
`60*0,5^t = 40*0,7^t` geeft `((0,7)/(0,5))^t = 60/40` ofwel `1,4^t=1,5` zodat `t=\ ^(1,5)log(1,5) ~~ 1,2` minuten.
`40*0,7^t = 40*(0,5^(\ ^(0,5)log(0,7)))^t = 40*0,5^(0,51t)`
Dus is `1/(tau) ~~ 0,51` en `tau ~~ 1,94` .
Je krijgt `H_B = 40*0,5^(t/(1,94))` .
`tau` heeft de eenheid van tijd en geeft aan na hoeveel tijd de waterhoogte ongeveer gehalveerd is.
`H'(t) ~~ text(-)2,08*0,5^t`
`H'(1) ~~ text(-)1,04`
`N'(t) = 15*text(e)^(text(-)0,50t)`
`N'(1) ~~ 9,10`
`text(e)^(text(-)alpha) = 0,4` geeft `alpha = text(-)ln(0,4) ~~ 0,916` .
`text(e)^(text(-)ln(0,4) * d) = 0,01` geeft `d = (ln(0,01))/(text(-)ln(0,4)) ~~ 5,03` . Dus ongeveer `5` cm.
`I'(0) = text(-)100ln(0,4) ~~ 91,6` % cm.