Werken met e > Exponentiële functiesUitleg
Hier zie je de grafiek van
`f(x)=2^x`
en de bijbehorende (blauwe) hellingsgrafiek, de grafiek van de afgeleide.
Die afgeleide is een veelvoud van de functie zelf:
`f'(x) = c*2^x`
.
Je kunt de waarde van
`c`
aflezen bij
`x=0`
want
`f'(0) = c*2^0 = c`
. Je ziet
`f'(0) ~~ 0,69`
.
Maar je kunt de waarde van `c` ook zelf berekenen: `c = ln(2)` .
De afgeleide van `f(x) = 2^x` is `f'(x) = ln(2)*2^x` .
Je kunt dit vinden door de functie `f` van grondtal te veranderen:
`f(x) = text(e)^(c*x)` met `f'(x) = text(e)^(c*x) * c` (kettingregel!).
En omdat `text(e)^(c*x) = 2^x` moet `text(e)^c = 2` , dus `c=ln(2)` .
Zo'n redenering kun je ook op elk ander grondtal toepassen.
Dus de afgeleide van
`f(x)=g^x`
is
`f' (x)=g^x*ln(g)`
.
In de
Bepaal de afgeleide van `g(x) = 3^x` .
Bepaal de afgeleide van `h(x) = 0,5^x` .
Bepaal de afgeleide van `f(x) = 200*1,5^x` .
Bepaal de afgeleide van `f(x) = 20*1,2^x + 140` .
In de
Laat zelf zien, dat
`2^x ~~ text(e)^(0,69x)`
.
Leg ook uit dat die
`0,69`
eigenlijk
`ln(2)`
is.
Bepaal de afgeleide van `f(x) = text(e)^(0,69x)` met behulp van de kettingregel en laat zien dat deze afgeleide is te schrijven als `f'(x) = 0,69*2^x` .
Schrijf de functie `N(t) = 200*1,2^t` in de vorm `N(t) = 200*text(e)^(k*t)` .
Bepaal de afgeleide van `N(t)` op twee manieren, eerst vanuit de vorm `N(t) = 200*1,2^t` en daarna vanuit de vorm met grondtal `text(e)` . Laat zien dat beide afgeleiden hetzelfde zijn.
Je hebt in de
Een bacterie groeit onder bepaalde omstandigheden volgens de groeiformule:
`N(t) = 50*8^t`
Hierin is:
-
`N` het aantal bacteriën per kolonie
-
`t` de tijd in uren
Laat zien, dat je deze formule ook kunt schrijven als `N(t) = 50*text(e)^(2,1t)` .
Bereken de groeisnelheid van deze bacteriën op
`t=0`
.
Gebruik eerst de gegeven formule en daarna de formule bij a. Laat zien dat beide uitkomsten
gelijk zijn.