Werken met e

Werken met e > Logaritmische functies

Overzicht

12345Logaritmische functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Omdat de grafiek van `f` steeds steiler wordt naarmate je dichter bij `0` komt.

`y=0`

GeoGebra: `f(x) = ln(x)` en Afgeleide[ `f` ].

Desmos: `f(x) = ln(x)` en `f'(x)` .

GR: `y = ln(x)` en afgeleide maken (afhankelijk van de soort GR).

`f'(x)=1/x` .
Als je de figuur zelf in GeoGebra maakt, kun je het functievoorschrift van de afgeleide gewoon opvragen. In Desmos en met een GR kun je alleen controleren dat `y=1/x` dezelfde figuur geeft (voor positieve `x` ) als `f'` .

Opgave 1

`f'(x)=1/x` en `f'(1)=1` .

`f'(x)=3* 1/x =3/x` en `f'(1)=3` .

`f(x)= 1/(2x) * 2 = 1/x` dus `f'(1)= 1` .

Opgave 2

`f'(x)= 1/(ln(3)) * 1/x ~~ 0,91*1/x = (0,91)/x` en dus is `f'(2) ~~ 0,46` .

Opgave 3

Gebruik alle tot nu toe geleerde differentieerregels. Controleer pas je antwoord als je ze allemaal hebt gemaakt. Heb je fouten gemaakt? Bekijk dan goed wat je fout deed!

Opgave 4

`f'(x)=1/ (4 x) *4 =1/x` geeft `f'(1)=1` .

`f'(x)=1/ (ln(0,5))*1/x ~~ (text(-)1,44)/x` geeft `f'(1)~~text(-)1,44` .

`f'(x)=5 *1/ (ln(10 ))*1/x ~~ (2,17)/x` geeft `f'(1)~~2,17` .

`f'(x)=50 *1/ (2 x) *2 =50/x` geeft `f'(1)=50` .

Opgave 5

`h=text(-)6,5 ln(p/1020)` geeft `h'(p)=(text(-)6,5)/ (p ln(10 ))` .

`h(900 )≈0,353` en `h'(900 )≈text(-)0,003` .

`h'(p)=(text(-)6,5)/ (p ln(10 )) < 0` omdat `p>0` .

Opgave 6

`f'(x)= 1/(0,5x)*0,5 = 1/x` geeft `f'(2)=0,5` .

`f'(x)= 4*1/(ln(2))*1/x ~~ (5,77)/x` geeft `f'(2)~~2,89` .

`f'(x)=200*1/(x/4) = 800/x` geeft `f'(2)=400` .

Opgave 7

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
De grafiek heeft een verticale asymptoot `y=0` .

`f'(x)= text(-)1/x` .
`f(2)= 4 - ln(4) ~~ 2,61` en `f'(2)=text(-)0,5` dus de vergelijking van de raaklijn is `y= text(-)0,5x + 3,61` .

`f'(x)=(-)1` geeft `text(-)1/x =text(-)1` zodat `x= 1` .

Opgave 8

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

De punten `A` en `B` liggen beide op de verticale lijn `x=k` .
Dus moet `h(k)=f(k)-g(k)` maximaal zijn.
`h'(k)=text(-)1/(6 -k) +1/k = 0` geeft `k=3` . En `h(3 )=2 *ln(3 )` .

Opgave 9

`I = 10^(text(-)12)` geeft `L = 0` .
`I = 10` geeft `L = 130` .

`L = 80` geeft `I = 10^(text(-)4)` . Voor twee auto's is `I = 2 * 10^(text(-)4)` en dus `L = 83,01` dB.

`R=20` geeft `77 = L_0 - 10 * log(40pi)` geeft `L_0 = 77 + 10 * log(40pi) ~~ 98` dB.

`L = 98 - 10log(2pi *100) ~~ 70` dB.

`L = 98 - 10log(2pi R) = 60` geeft `38 = 10log(2piR)` en dus `R = (10^(3,8))/(2pi) ~~ 1004` m.

Opgave A1

Overlevingstijd: `t=0,12*(1,2)^T` .
`T=0 rArr t=0,12` uur ( `7,2` min.)
`T=5 rArr t=0,29` uur ( `17,9` min.).

`0,579=0,12*(1,2)^T rArr T=\ ^(1,2)log(4,98)~~8,8` °C.

Telkens als `T` met `3,8` °C toeneemt, wordt `t` tweemaal zo groot.

`T` (°C)	`0`	`3,8`	`7,6`
`t` (min)	`7,2`	`14,4`	`28,8`

óf
De formule zegt: telkens als `T` met `1` verhoogd wordt, wordt `t` met `1,2` vermenigvuldigd. Dit betekent ook: telkens als `T` met `3,8` verhoogd wordt, wordt `t` met `2` vermenigvuldigd.
( `(1,2)^x=2 rArr x~~3,8` )

Opgave A2

`t=0,12*(1,2)^T rArr t/(0,12)=(1,2)^T rArr T=\ ^(1,2)log(t/(0,12)) rArr` ` T=\ ^(1,2)log(t)-\ ^(1,2)log(0,12) rArr T= \ ^(1,2)log(t)+11,63`
Dit wordt `T=logt/log(1,2)+11,63 rArr T=12,63*logt+11,63 rArr T=11,63+12,63*logt`
`t=1 rArr T=11,63` °C.
Als `T gt 11,7` °C, is de overlevingstijd groter dan `1` uur.

Als in de vorige opgave 14,maar nu met de assen "omgewisseld" .

Assen omgewisseld, grafieken gespiegeld t.o.v. de lijn `y=x` (kenmerk grafieken inverse functies).

Opgave T1

`f'(x) ~~ (0,91)/x` geeft `f'(10) ~~ 0,09` .

`f'(x) = 2/(11-x) ` en `f'(10) = 2` .

`f'(x) = 30/x` en `f'(10) = 3` .

Opgave T2

Na ongeveer `14` uur een `44` minuten.

`S'(t) = (text(-)0,00216)/(text(-)0,00216t + 2,7183) lt 0` zolang `0 le t le 16` .

verder | terug