Johannes Kepler (1571 — 1630) beschreef als eerste het verband tussen de omlooptijd `T` (in jaren) van een planeet en zijn gemiddelde afstand tot de zon `R` . Voor de Aarde geldt `T=1` jaar en wordt `R=1` AE (astronomische eenheid) genomen. In de tabel vind je de gegevens van de andere planeten in ons zonnestelsel.
planeet | Mercurius | Venus | Aarde | Mars | Jupiter | Saturnus | Uranus | Neptunus |
`R` (in AE) | 0,39 | 0,72 | 1 | 1,52 | 5,20 | 9,54 | 19,19 | 30,07 |
`T` (in jaren) | 0,24 | 0,62 | 1 | 1,88 | 11,9 | 25,5 | 84,0 | 164,8 |
Het verloop van
`T(R)`
doet een machtsfunctie vermoeden.
Teken de grafiek van
`T(R)`
op dubbellogaritmisch papier en stel een passende formule op.
Zie de figuur. Zo moet jouw grafiek er ongeveer uit zien.
Bij deze machtsfunctie hoort een formule van de vorm `T = b*R^p` .
De grafiek gaat door de punten `(1, 1)` en (ongeveer) `(20, 90)` . Invullen:
`1 = b*1^p` zodat `b=1`
`90 = b*20^p` met `b=1` geeft `20^p = 90`
`20^p = 90` geeft `p = \ ^20log(90) ~~ 1,50` .
Je ziet, dat `T=1 *R^(1,50)` een redelijk passende formule is.
Bekijk
Teken zelf de grafiek van `T(R)` op dubbellogaritmisch papier.
Door welk punt moet je grafiek in ieder geval gaan? En waarom?
Stel zelf een formule op voor `T(R)` als je aanneemt dat de grafiek door `(30, 165)` gaat.
In 1930 ontdekte astronoom Clyde Tombaugh een nieuw hemellichaam dat om de zon draaide op een (gemiddelde) afstand van `38,4851` AE. Dit hemellichaam werd Pluto genoemd en is lang als planeet geclassificeerd.
Welke omlooptijd heeft Pluto?