Werken met e > GroeimodellenVoorbeeld 1
In deze tabel zie je de groei van een aantal fruitvliegjes ( "Drosophila melanogaster" ). De populatie leeft in een afgesloten ruimte met voldoende voedsel. `N` is het aantal fruitvliegjes.
| `t` (dagen) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| `N(t)` | 2 | 5 | 10 | 22 | 47 | 91 | 156 |
De sterke toename van
`N`
doet exponentiële groei vermoeden.
Teken de grafiek van
`log(N)`
als functie van
`t`
en/of teken de
grafiek van
`N(t)`
op enkellogaritmisch papier en
stel een passende formule voor
`N(t)`
op.
Zie de figuur hiernaast. Zo moet jouw grafiek er ongeveer uit zien.
Een passende formule heeft bijvoorbeeld de vorm `N(t)=b text(e)^(kt)` .
De getekende grafiek gaat ongeveer door `(4, 5)` en `(12, 20)` . Invullen geeft:
-
`b * text(e)^(4k) = 5`
-
`b * text(e)^(12k) = 20`
Beide zijden op elkaar delen: `text(e)^(8k) = 4` en dus `k = (ln(4))/8 ~~ 0,17` .
En daarmee bereken je `b` . Je vindt uit `b * text(e)^(0,17*4) = 5` , dat `b = 2,5` .
Dus `N(t)=2,5 text(e) ^ (0,17 t)` is een passende formule.
Bekijk
Teken de punten uit de tabel op enkellogaritmisch papier. Teken een lijn die zo goed mogelijk past bij de getekende punten. Deze lijn stelt de grafiek van `N(t)` voor op enkellogaritmisch papier.
Stel zelf een formule op voor `N(t)` . Ga er vanuit dat de grafiek door `(8, 10)` en door `(21, 100)` gaat.
Controleer of de punten uit de tabel passen bij de gevonden formule.
Waarom zal geen enkele formule precies de gegeven tabel opleveren?
Na hoeveel dagen zouden er volgens jouw formule meer dan `1000` fruitvliegjes zijn?
In deze tabel zie je hoe de groei van het aantal fruitvliegjes ( "Drosophila melanogaster" ) verder gaat.
| `t` (dagen) | 0 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 |
| `N(t)` | 2 | 5 | 10 | 22 | 47 | 91 | 156 | 226 | 282 | 317 | 335 | 343 | 347 |
Waaraan zie je dat er op den duur toch geen sprake is van exponentiële groei?
Voor het aantal fruitvliegjes is deze formule opgesteld: `N(t)=350/ (1 +174 *0,81^t)` .
Maak een grafiek voor
`N(t)`
en bepaal het maximale aantal fruitvliegjes volgens dit rekenmodel.
Met welke soort groei heb je hier te maken?
Bepaal de waarde van `t` waarin de groeisnelheid van `N` zo groot mogelijk is.