Werken met e > Groeimodellen
12345Groeimodellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Achtereenvolgens:

  • Bij is sprake van exponentiële groei met groeifactor . De groei wordt steeds sterker.

  • Bij is sprake van groei volgens een machtsfunctie. Ook nu wordt de groei steeds sterker.

  • Bij is in het begin sprake van exponentiële groei , maar die groei wordt na verloop van tijd minder sterk en nadert naar een situatie waarin er van groei eigenlijk geen sprake meer is.

  • Bij is vanaf het begin sprake van steeds minder sterke groei.

b

Achtereenvolgens:

  • Bij wordt de groeisnelheid steeds groter.

  • Bij wordt de groeisnelheid ook steeds groter.

  • Bij wordt de groeisnelheid eerst groter, maar na een bepaald punt steeds kleiner tot hij naar nadert.

  • Bij wordt de groeisnelheid vanaf het begin steeds kleiner en nadert hij naar .

Opgave 1
a

Maak een tabel van voor .

a

Maak een tabel van voor .

c

.

d

Rechte lijn door met richtingscoëfficiënt .

e

Maak eerst een tabel van als functie van .

De grafiek wordt een dalende rechte lijn door en ongeveer .

Opgave 2
a

De grafiek van wordt nu een rechte lijn door , , , enzovoorts.
door en geeft en . Dit levert op en , dus .

b

Doen.

c

heeft geen oplossingen, de -as is een horizontale asymptoot.

Opgave 3
a

Maak eerst een tabel.

b

. Dit kan niet herleid worden tot een lineair verband tussen en .

Opgave 4
a

geeft een rechte lijn door met richtingscoëfficiënt .

b

Je krijgt een rechte lijn door , , etc.

Op een logaritmische schaal komt het getal niet voor, want er is geen getal waarvan de logaritme is.

c

.

d

Rechte lijn door , etc.

Opgave 5
a

Aan de machten van op horizontale en verticale as.

b

Kleine honden zitten bij , .

c

geeft .
(Kan ook met behulp van twee afgelezen punten.)

d

passen per minuut.

Opgave 6
a

Doen. Vergelijk jouw lijn met de in het voorbeeld gegeven lijn.

b

geeft dan en zodat en . Vul je dit in één van beide vergelijkingen in, dan vind je . Dus . (Je kunt ook uitgaan van . Dan vind je .)

c

Maak een tabel bij de bij b gevonden functie op je grafische rekenmachine.

Omdat het metingen zijn die niet precies voldoen aan een exponentieel verband, maar alleen bij goede benadering.

d

geeft . Dus na dagen.

Opgave 7
a

Het aantal fruitvliegjes lijkt te gaan stabiliseren op ongeveer .

b

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
Stel de assen in op .

Het aantal fruitvliegjes nadert , de horizontale asymptoot. Er is sprake van geremde exponentiële groei.

c

De gemakkelijkste manier is de afgeleide maken met GeoGebra, Desmos of een GR en het maximum bepalen met de grafiek. Je vindt .

Opgave 8
a

Doen, in beide gevallen liggen de punten redelijk op een rechte lijn.

b

De grafiek moet in ieder geval door .
Dat is zo omdat bij is afgesproken dat .

c

Het antwoord bij b betekent: . Neem je aan dat de grafiek ook door gaat dan wordt en dus . Dus .

d

geeft volgens de formule jaar.

Opgave 9
a

Nu wordt en ook dit geeft . Je krijgt dus hetzelfde functievoorschrift.

b

en dus is . De afkoelingssnelheid is ongeveer  °C/min.

Opgave 10
a

geeft .
Na ongeveer minuut en seconden.

b

dagen

Opgave 11

Teken de punten op enkellogaritmisch papier en je zult zien dat ze ongeveer op een rechte lijn liggen door en .

Exponentiële functie .
geeft .
Punt invullen geeft .
Dus .

Opgave 12

Machtsfunctie .
Punt invullen geeft en dus .
Punt invullen geeft .
Hieruit volgt dus .
Dus vind je: .

Opgave 13
a

Neem twee punten uit de tabel, bijvoorbeeld en .

Bij krijg je en dus .
Bij krijg je en dus .

Dus en , zodat .

De formule wordt: .

b

als .

c

De gemakkelijkste manier is de afgeleide maken met GeoGebra, Desmos of een GR en daarin de juiste waarde van kiezen.

Je kunt ook werken met de afgeleide: .
Dus is kleiner dan de gemiddelde groei in de tweede week omdat de groei dan nog steeds sneller toeneemt.

d

is groter dan de gemiddelde groei in de tiende week omdat de groei dan steeds langzamer gaat.

e

het grootst als . Dit is op dag .

Opgave 14
a

Doen.

b

De grafiek is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn.

c

Je vindt iets als en , dus .

d

cal/km.

Opgave 15
a

Afname keer zo groot past niet bij een lineair proces. Afname neemt exponentieel toe, wat overblijft dus niet.

b

en .

c

In het jaar 2032.

d

.
Nu is en , dus het klopt.

Opgave A1
a

Het temperatuurverschil met de omgeving is daar het grootst.

b

c

( °C)
( °C)

d

De macht van een wordt zo steeds een geheel getal.

e

Vergelijk de tabelwaarden met de grafiek.

Opgave A2
a

Eerst schrijven als -macht:

, dus de groeifactor is minuten.

b

en .
Op dezelfde manier:
en .

c

%.

d

Ja.

Opgave T1
a

De grafiek bij deze tabel is op dubbellogaritmisch papier bij benadering een rechte lijn door en .

b

en .

Opgave T2
a

en .

b

.

c

Het totale gewicht aan forellen is maximaal na ongeveer maanden.

verder | terug