Werken met e > Groeimodellen
12345Groeimodellen

Voorbeeld 2

Johannes Kepler (1571 — 1630) beschreef als eerste het verband tussen de omlooptijd `T` (in jaren) van een planeet en zijn gemiddelde afstand tot de zon `R` . Voor de Aarde geldt `T=1` jaar en wordt `R=1`  AE (astronomische eenheid) genomen. In de tabel vind je de gegevens van de andere planeten in ons zonnestelsel.

planeet Mercurius Venus Aarde Mars Jupiter Saturnus Uranus Neptunus
`R` (in AE)   0,39   0,72   1   1,52   5,20   9,54  19,19  30,07
`T` (in jaren)   0,24   0,62   1   1,88  11,9  25,5  84,0 164,8

Het verloop van `T(R)` doet een machtsfunctie vermoeden.
Teken de grafiek van `T(R)` op dubbellogaritmisch papier en stel een passende formule op.

> antwoord

Zie de figuur. Zo moet jouw grafiek er ongeveer uit zien.

Bij deze machtsfunctie hoort een formule van de vorm `T = b*R^p` .

De grafiek gaat door de punten `(1, 1)` en (ongeveer) `(20, 90)` . Invullen:

  • `1 = b*1^p` zodat `b=1`

  • `90 = b*20^p` met `b=1` geeft `20^p = 90`

`20^p = 90` geeft `p = \ ^20log(90) ~~ 1,50` .

Je ziet, dat `T=1 *R^(1,50)` een redelijk passende formule is.

Opgave 8

Bekijk Voorbeeld 2.

a

Teken zelf de grafiek van `T(R)` op dubbellogaritmisch papier.

b

Door welk punt moet je grafiek in ieder geval gaan? En waarom?

c

Stel zelf een formule op voor `T(R)` als je aanneemt dat de grafiek door `(30, 165)` gaat.

In 1930 ontdekte astronoom Clyde Tombaugh een nieuw hemellichaam dat om de zon draaide op een (gemiddelde) afstand van `38,4851` AE. Dit hemellichaam werd Pluto genoemd en is lang als planeet geclassificeerd.

d

Welke omlooptijd heeft Pluto?

verder | terug