Werken met e > GroeimodellenUitleg
|
|
|
|
Een functie zoals
`N(t)=60 *1,5^t`
beschrijft exponentiële groei. Je kunt deze functie opvatten
als een exponentieel groeimodel. De groei is dan nogal explosief, bij
betrekkelijk kleine waarden van
`t`
heb je al met hele grote
uitkomsten te maken.
Dat is lastig als je een geschikte grafiek wilt
maken.
Neem je daarentegen aan beide zijden de logaritme dan krijg
je:
`log(N)=log(60 *1,5^t)`
.
Met de eigenschappen van
logaritmen wordt dit:
`log(N)=log(60 )+t*log(1,5 )`
.
Omdat zowel
`log(60 )`
als
`log(1,5 )`
getallen zijn, staat
hier dat tussen
`log(N)`
en
`t`
een lineair verband
bestaat. En daarom wordt een exponentiële functie een rechte lijn als je
op de verticale as een logaritmische schaal gebruikt.
Er bestaat speciaal grafiekenpapier waar de verticale as zo is aangepast dat je zonder omrekenen met logaritmen een rechte lijn krijgt bij een exponentiële functie. Dat heet enkellogaritmisch papier. De onderste grafiek is die van `N(t)` op dergelijk papier.
Bekijk
Ga na dat de bovenste grafiek juist is.
Ga na dat de onderste grafiek ook juist is.
Neem nu de functie `K(t)=600 *0,8^t` .
Laat met de rekenregels van logaritmen zien dat `log(K)` een lineaire functie van `t` is.
Teken de grafiek van `log(K)` als functie van `t` .
De grafiek van `K` kun je ook op enkellogaritmisch grafiekenpapier tekenen. Je hoeft dan niet eerst de formule te herleiden.
Neem een blad van dit grafiekenpapier en teken daarop de grafiek van deze functie.
Je ziet hier de grafiek van een nieuwe functie `N(t)` op enkellogaritmisch grafiekenpapier.
Leg uit dat de grafiek door `(0,5 ; 8000 )` en `(6 , 400 )` gaat en stel het functievoorschrift op.
Lees uit de figuur af hoe groot `N(1 )` en `N(4,5 )` (bij benadering) zijn. Controleer je antwoorden met behulp van het functievoorschrift.
Heeft `N(t)=0` oplossingen? Kan er op de verticale as een `0` voorkomen?
Bekijk de functie `N_4(t) = 400 - 300 * 0,75^t` .
Teken de grafiek van `N_4` op enkellogaritmisch grafiekenpapier.
Kun je verklaren waarom de grafiek geen rechte lijn wordt?