Groeifactor `text(e)^(0,015) ~~ 1,015` en dat is een groei van `1,5` % per jaar.

`N(text(-)18) = 6*10^5 * text(e)^(0,015*text(-)18) ~~ 458028` , dus ongeveer `458text(.)000` inwoners.

`N'(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) * 0,015`
In 2018: `N'(0) = 9000` inwoners/jaar.
In 2028: `N'(10) ~~ 10457` inwoners/jaar.

`N(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) = 1*10^6` geeft `text(e)^(0,015t) = 10/6` en `t = (ln(10/6))/(0,015)~~ 34,1` jaar. Dus in 2052.

Lees af dat de grafiek door `(1, 2*10^5)` en `(8, 5*10^4)` gaat.

De grafiek is op enkellogpapier getekend, dus de formule heeft de vorm `N = b*g^t` of `N = b * text(e)^(kt)` .

Bij `N = b*g^t` is `g = ((5*10^4)/(2*10^5))^(1/7) ~~ 0,82` .
En `(1, 2*10^5)` invullen in `N = b*0,82^t` geeft `b ~~ 243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*0,82^t` .

Bij `N = b*text(e)^(kt)` krijg je na invullen `2*10^5 = b*text(e)^(k)` en `5*10^4 = b*text(e)^(8k)` .
Beide zijden delen geeft `text(e)^(7k) = 0,25` en `k = (ln(0,25))/(7) ~~ text(-)0,198` en `b~~243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t)` .

`N(t) ~~ 243803*0,82^t = 10text(.)000` geeft `0,82^t ~~ 0,041` en `t ~~ (log(0,041))/(log(0,82)) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

`N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t) = 10text(.)000` geeft `text(e)^(text(-)0,198t) ~~ 0,041` en `t ~~ (ln(0,041))/(text(-)0,198) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

`t rarr oo` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200` .

Horizontale asymptoot `N = 1200` .

`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.

`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0` .
Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.

`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .

`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.

`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer 2 uur en 14 minuten.

Nee, de gemiddelde snelheid neemt slechts met ongeveer `4` % af.

Een looptempo van `2` minuten en `55` seconden over elke km.

`2` uur en `27` minuten.

Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.

`H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(text(-)0,155t)` .

Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.

`0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(text(-)0,086)` , dus `k ~~ text(-)0,086` .

`H(t) = 1 * text(e)^(text(-)0,086t)` geeft `H'(t) = text(-)0,086 * text(e)^(text(-)0,086t) = text(-)0,086 * H(t)` , dus de evenredigheidsconstante is `text(-)0,086` .

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8` .

Ook na `26,8` dagen.

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3` . Na `72,3` dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig.

Voor 1985 geldt `t = 0` , er zijn dan `0,5` miljoen schollen ouder dan 1 jaar. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar is telkens `0,67` deel van dat van het voorgaande jaar plus `0,5` mln larven die hun eerste jaar hebben overleefd. Dus in de jaren 1986, 1987, ..., 1995 worden dat er: `0,83` ; `1,06` ; `1,20` ; `1,30` ; `1,36` ; ... miljoen.

Dit wordt een steeds langzamer stijgende grafiek. Het aantal schollen ouder dan 1 jaar nadert steeds langzamer de `1,50` miljoen.

`G = 1,50` .
Gebruik nu `S(0) = 0,50` en (bijvoorbeeld) `S(4) = 1,30` en je vindt: `S(t) ~~ 1,50 - 1,00 * text(e)^(text(-)0,40t)` .

Het aantal vissen dat sterft als gevolg van de visserij is `23` % van het aantal aanwezige vissen. Er van uitgaande dat larven te klein zijn voor bevissing zou dit betekenen dat het deel van de schollen ouder dan 1 jaar dat jaarlijks overleeft `0,67 * 0,77 ~~ 0,52` wordt.

Eigen antwoord.

Vast percentage "overblijvers" , dus constante groeifactor.

`M = 0,05` : `(0; 0,05)` op verticale as.
`G = 0,21` : de richtingscoëfficiënt van de lijn is `log(text(e)^(0,21))` .

`m = 0,05 text(e)^(0,21x)` , de grafiek past bij de formule.

`m(10) ~~ 0,41` dus zo'n `59` tienjarigen.

`M ~~ 0,09` . Exponentiële groei tussen `(0;0,09)` en `(10;0,38)` , zodat `G ~~ 0,14` .

Dit volgt uit `text(e)^(Gx) = 2` .

Kalkoen: `SCVT = 3,3` .
Spreeuw: `SCVT = 5,0` .

Kalkoen: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,21x))` .
Spreeuw: `S(t) = 100(1 - 0,05text(e)^(0,14x))` .
Eerste grafiek eerder op nul, deze grafiek daalt in begin iets minder sterk, daarna sterkere daling. Meer "vergrijzing" bij de spreeuwen.