Groeifactor `text(e)^(0,015) ~~ 1,015` en dat is een groei van `1,5` % per jaar.
`N(text(-)18) = 6*10^5 * text(e)^(0,015*text(-)18) ~~ 458028` , dus ongeveer `458text(.)000` inwoners.
`N'(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) * 0,015`
In 2018:
`N'(0) = 9000`
inwoners/jaar.
In 2028:
`N'(10) ~~ 10457`
inwoners/jaar.
`N(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) = 1*10^6` geeft `text(e)^(0,015t) = 10/6` en `t = (ln(10/6))/(0,015)~~ 34,1` jaar. Dus in 2052.
Lees af dat de grafiek door `(1, 2*10^5)` en `(8, 5*10^4)` gaat.
De grafiek is op enkellogpapier getekend, dus de formule heeft de vorm `N = b*g^t` of `N = b * text(e)^(kt)` .
Bij
`N = b*g^t`
is
`g = ((5*10^4)/(2*10^5))^(1/7) ~~ 0,82`
.
En
`(1, 2*10^5)`
invullen in
`N = b*0,82^t`
geeft
`b ~~ 243803`
.
Dus wordt de formule
`N(t) ~~ 243803*0,82^t`
.
Bij
`N = b*text(e)^(kt)`
krijg je na invullen
`2*10^5 = b*text(e)^(k)`
en
`5*10^4 = b*text(e)^(8k)`
.
Beide zijden delen geeft
`text(e)^(7k) = 0,25`
en
`k = (ln(0,25))/(7) ~~ text(-)0,198`
en
`b~~243803`
.
Dus wordt de formule
`N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t)`
.
`N(t) ~~ 243803*0,82^t = 10text(.)000`
geeft
`0,82^t ~~ 0,041`
en
`t ~~ (log(0,041))/(log(0,82)) ~~ 16,09`
.
Dus als
`t ge 16,1`
.
`N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t) = 10text(.)000`
geeft
`text(e)^(text(-)0,198t) ~~ 0,041`
en
`t ~~ (ln(0,041))/(text(-)0,198) ~~ 16,09`
.
Dus als
`t ge 16,1`
.
`t rarr oo` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200` .
Horizontale asymptoot `N = 1200` .
`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.
`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)`
en als
`t rarr oo`
dan gaat
`v(t) rarr 0`
.
Dat wil niet zeggen dat
`N`
naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar
`0`
en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.
`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .
`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.
`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer 2 uur en 14 minuten.
Nee, de gemiddelde snelheid neemt slechts met ongeveer `4` % af.
Een looptempo van `2` minuten en `55` seconden over elke km.
`2` uur en `27` minuten.
Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.
`H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(text(-)0,155t)` .
Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.
`0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(text(-)0,086)` , dus `k ~~ text(-)0,086` .
`H(t) = 1 * text(e)^(text(-)0,086t)` geeft `H'(t) = text(-)0,086 * text(e)^(text(-)0,086t) = text(-)0,086 * H(t)` , dus de evenredigheidsconstante is `text(-)0,086` .
`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8` .
Ook na `26,8` dagen.
`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3` . Na `72,3` dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig.
`40 - 1/(2k)(text(e)^0 + text(e)^0) = 20,51` geeft `1/k = 19,49` en `k ~~ 0,05` .
Werk met Desmos, GeoGebra, of een GR:
`40 - 10(text(e)^(0,25kx) + text(e)^(text(-)0,25kx)) = 0`
geeft
`x~~5,27`
.
De gevraagde breedte is ongeveer `10,54` m.
`Δh=Q/(2πkH) ln(r/R)` geeft `Q=Δh*(2πkH)/(ln(r/R))` .
Als je deze formule invult, vind je:
`Q=text(-)0,5*(2π*2*10^(text(-)5)*10)/(ln((0,25)/1000)) =7,58*10^(text(-)5)` m3/s.
Dat is `7,58*10^(text(-)5)*(3600⋅24)=6,55` m3/dag.
Het aardwarmtebedrijf mag dus per dag maximaal `6,55` m3 water aan de bodem onttrekken.
`T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft `15` °C na `385` minuten en `19,5` °C na `28,5` minuten.
`T'(0) = text(-)0,018` °C/min en `T'(60) = text(-)0,016` °C/min.
`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t` .
`20` °C na `18,2` minuten.
`T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t`
geeft
`19,5`
°C na
`55,6`
min.
`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t`
geeft
`20,5`
°C na
`37,0`
min.
De periode is
`92,6`
minuten, dus CV brandt gedurende
`40`
% van de periode.
De CV gaat uit bij
`20,25`
°C en de CV gaat aan bij
`19,75`
°C.
`T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t`
geeft
`19,75`
°C na
`27,8`
min.
`T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t`
geeft
`20,25`
°C na
`18,5`
min.
De periode is
`46,3`
minuten, dus CV brandt gedurende
`40`
% van de periode.
De CV gaat uit bij
`20,5`
°C en de CV gaat aan bij
`19,5`
°C.
`T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t`
geeft
`19,5`
°C na
`32,7`
min.
`T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t`
geeft
`20,5`
°C na
`69,5`
min.
De periode is
`102,2`
minuten, dus CV brandt gedurende
`68`
% van de periode.
De CV gaat uit bij
`20,25`
°C en de CV gaat aan bij
`19,75`
°C.
`T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t`
geeft
`19,5`
°C na
`16,3`
min.
`T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t`
geeft
`20,5`
°C na
`34,7`
min.
De periode is
`51,0`
minuten, dus CV brandt gedurende
`68`
% van de periode.
`p_(text(max)) = 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(20+234)) ~~ 2340,4`
Pa.
Dus
`0,70 ~~ (p_d)/(2340,4)`
, zodat
`p_d ~~ 0,70*2340,4 ~~ 1628`
Pa.
Gebruik
`p_d = r*p_(text(max)) ~~ 1628`
Pa.
Dan is
`m = (1628*34)/293 * 273/101300 * 0,625 * 1,29 ~~ 0,4131`
kg.
Gebruik
`p_d = r*p_(text(max))`
,
`T=t+273`
en de formule voor
`p_(text(max))`
.
Je krijgt:
`m = (r * 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234)) * V)/(t+273) * 273/101300
* 0,625 * 1,2`
.
Dit kun je schrijven als
`m ~~ (34547773 * text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234)) * r * V)/(t+273)`
.
Vul in de formule in:
`t=20`
°C,
`r=0,70`
en
`V=34`
m3.
Je vindt ook nu:
`m~~0,4131`
kg.