Werken met e > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave T1
a

Groeifactor `text(e)^(0,015) ~~ 1,015` en dat is een groei van `1,5` % per jaar.

b

`N(text(-)18) = 6*10^5 * text(e)^(0,015*text(-)18) ~~ 458028` , dus ongeveer `458text(.)000` inwoners.

c

`N'(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) * 0,015`
In 2018: `N'(0) = 9000` inwoners/jaar.
In 2028: `N'(10) ~~ 10457` inwoners/jaar.

d

`N(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) = 1*10^6` geeft `text(e)^(0,015t) = 10/6` en `t = (ln(10/6))/(0,015)~~ 34,1` jaar. Dus in 2052.

Opgave T2
a

Lees af dat de grafiek door `(1, 2*10^5)` en `(8, 5*10^4)` gaat.

De grafiek is op enkellogpapier getekend, dus de formule heeft de vorm `N = b*g^t` of `N = b * text(e)^(kt)` .

Bij `N = b*g^t` is `g = ((5*10^4)/(2*10^5))^(1/7) ~~ 0,82` .
En `(1, 2*10^5)` invullen in `N = b*0,82^t` geeft `b ~~ 243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*0,82^t` .

Bij `N = b*text(e)^(kt)` krijg je na invullen `2*10^5 = b*text(e)^(k)` en `5*10^4 = b*text(e)^(8k)` .
Beide zijden delen geeft `text(e)^(7k) = 0,25` en `k = (ln(0,25))/(7) ~~ text(-)0,198` en `b~~243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t)` .

b

`N(t) ~~ 243803*0,82^t = 10text(.)000` geeft `0,82^t ~~ 0,041` en `t ~~ (log(0,041))/(log(0,82)) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

`N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t) = 10text(.)000` geeft `text(e)^(text(-)0,198t) ~~ 0,041` en `t ~~ (ln(0,041))/(text(-)0,198) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

Opgave T3
a

`t rarr oo` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200` .

b

Horizontale asymptoot `N = 1200` .

c

`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.

d

`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0` .
Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.

e

`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .

f

`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.

g

`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer 2 uur en 14 minuten.

Opgave T4
a

Nee, de gemiddelde snelheid neemt slechts met ongeveer `4` % af.

b

Een looptempo van `2` minuten en `55` seconden over elke km.

c

`2` uur en `27` minuten.

Opgave T5
a

Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.

b

`H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(text(-)0,155t)` .

c

Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.

d

`0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(text(-)0,086)` , dus `k ~~ text(-)0,086` .

e

`H(t) = 1 * text(e)^(text(-)0,086t)` geeft `H'(t) = text(-)0,086 * text(e)^(text(-)0,086t) = text(-)0,086 * H(t)` , dus de evenredigheidsconstante is `text(-)0,086` .

f

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8` .

g

Ook na `26,8` dagen.

h

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3` . Na `72,3` dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig.

Opgave A1Sheffield Winter Garden
Sheffield Winter Garden
a

`40 - 1/(2k)(text(e)^0 + text(e)^0) = 20,51` geeft `1/k = 19,49` en `k ~~ 0,05` .

b

Werk met Desmos, GeoGebra, of een GR:
`40 - 10(text(e)^(0,25kx) + text(e)^(text(-)0,25kx)) = 0` geeft `x~~5,27` .

De gevraagde breedte is ongeveer `10,54` m.

Opgave A2Aardwarmte
Aardwarmte
a

`Δh=Q/(2πkH) ln(r/R)` geeft `Q=Δh*(2πkH)/(ln(r/R))` .

b

Als je deze formule invult, vind je:

`Q=text(-)0,5*(2π*2*10^(text(-)5)*10)/(ln((0,25)/1000)) =7,58*10^(text(-)5)` m3/s.

Dat is `7,58*10^(text(-)5)*(3600⋅24)=6,55` m3/dag.

Het aardwarmtebedrijf mag dus per dag maximaal `6,55` m3 water aan de bodem onttrekken.

Opgave A3CV-installatie
CV-installatie
a

`T(t) = 10 + 10 * 0,9982^t` geeft `15`  °C na `385` minuten en `19,5`  °C na `28,5` minuten.

b

`T'(0) = text(-)0,018`  °C/min en `T'(60) = text(-)0,016`  °C/min.

c

`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `T'(t) ~~ 0,0279 * 0,9982^t > 0` voor elke `t` .

d

`20`  °C na `18,2` minuten.

e

`T(t) = 10 + 10,5 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `55,6` min.
`T(t) = 35 - 15,5 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `37,0` min.
De periode is `92,6` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

f

De CV gaat uit bij `20,25`  °C en de CV gaat aan bij `19,75`  °C.
`T(t) = 10 + 10,25 * 0,9982^t` geeft `19,75`  °C na `27,8` min.
`T(t) = 35 - 15,25 * 0,9982^t` geeft `20,25`  °C na `18,5` min.
De periode is `46,3` minuten, dus CV brandt gedurende `40` % van de periode.

g

De CV gaat uit bij `20,5`  °C en de CV gaat aan bij `19,5`  °C.
`T(t) = 3 + 17,5 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `32,7` min.
`T(t) = 28 - 8,5 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `69,5` min.
De periode is `102,2` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.
De CV gaat uit bij `20,25`  °C en de CV gaat aan bij `19,75`  °C.
`T(t) = 3 + 17,25 * 0,9982^t` geeft `19,5`  °C na `16,3` min.
`T(t) = 28 - 8,25 * 0,9982^t` geeft `20,5`  °C na `34,7` min.
De periode is `51,0` minuten, dus CV brandt gedurende `68` % van de periode.

Opgave A4Waterdampdruk
Waterdampdruk
a

`p_(text(max)) = 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(20+234)) ~~ 2340,4` Pa.
Dus `0,70 ~~ (p_d)/(2340,4)`  , zodat `p_d ~~ 0,70*2340,4 ~~ 1628` Pa.

b

Gebruik `p_d = r*p_(text(max)) ~~ 1628` Pa.
Dan is `m = (1628*34)/293 * 273/101300 * 0,625 * 1,29 ~~ 0,4131` kg.

c

Gebruik `p_d = r*p_(text(max))` , `T=t+273` en de formule voor `p_(text(max))` .
Je krijgt: `m = (r * 1,59 * 10^10 * text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234)) * V)/(t+273) * 273/101300 * 0,625 * 1,2` .
Dit kun je schrijven als `m ~~ (34547773 * text(e)^((text(-)3995,8)/(t+234)) * r * V)/(t+273)` .

d

Vul in de formule in: `t=20`  °C, `r=0,70` en `V=34` m3.
Je vindt ook nu: `m~~0,4131` kg.

verder | terug