Werken met e > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Toepassen

Opgave A1Sheffield Winter Garden
Sheffield Winter Garden

Bij de bouw van de Sheffield Winter Garden, een in 2003 geopende plantenkas, is gebruikgemaakt van bogen. Zie de foto.

De ontwerpers hebben een tekening gemaakt van het vooraanzicht van het gebouw. Dit vooraanzicht bestaat uit acht van die bogen. Bekijk de buitenrand van de grootste boog in een assenstelsel waarvan de -as door de onderste punten van de boog gaat en de top van de boog op de -as ligt. De eenheden langs de assen zijn meters.

Bij deze buitenrand past in dat geval een formule van de vorm:

Van deze buitenrand bevindt het hoogste punt zich meter boven de grond.

a

Bereken de waarde die dan moet hebben in twee decimalen nauwkeurig.

b

Bepaal de breedte van deze boog tussen beide punten op de grond in cm nauwkeurig.

Opgave A2Aardwarmte
Aardwarmte

De laatste jaren is de vraag naar duurzame energie toegenomen. Een vorm van duurzame energie is aardwarmte. Voor het opwekken van aardwarmte worden er twee putten in de bodem gemaakt. Eén hiervan is de zogenaamde injectieput, waarmee koud water in de bodem wordt gebracht. De andere put is de productieput. Hiermee wordt weer water aan de bodem onttrokken. Door op één punt water te injecteren en op een ander punt water aan de bodem te onttrekken, ontstaat er in de ondergrond een waterstroom. Het water dat wordt gewonnen, is hetzelfde water dat eerder is geïnjecteerd. Gedurende de weg die het water aflegt, warmt het langzaam op. Als het warme water opgepompt is, kan dit worden gebruikt voor het verwarmen van huizen, kantoren en kassen.

In de aardwarmtecentrale van een bedrijf raakt de injectieput verstopt. Het bedrijf heeft nu twee opties: stoppen met het oppompen van water totdat er een nieuwe injectieput is geslagen of doorgaan met water pompen. Als het bedrijf doorgaat met het oppompen van water maar geen nieuw water in de bodem pompt, dan zal de grondwaterstand dalen. Deze daling kan worden bepaald aan de hand van een formule:

Hierin is:

  • de hoeveelheid water die wordt opgepompt in m3/s

  • de doorlatendheidscoëfficiënt van grond in m/s

  • de straal van de opening van de productieput in m

  • de straal van het gebied waarop de put invloed heeft in m

  • de afstand van de put tot het punt waar vandaan de daling wordt berekend in m

De lokale overheid heeft besloten dat de daling van het grondwater op een afstand van meter van de productieput maximaal een halve meter mag zijn. Je wilt de maximale hoeveelheid water die per dag mag worden opgepompt berekenen. Neem hierbij voor de doorlatendheid van de grond m/s. Verder is de diameter van de put gelijk aan m en de straal van het invloed gebied m.

a

Herleid eerst de gegeven formule naar de vorm

b

Bereken de maximale hoeveelheid water die per dag mag worden opgepompt.

Opgave A3CV-installatie
CV-installatie

Het verloop van de temperatuur van een huis is veel complexer dan dat van een afkoelende kop koffie of een opwarmend blikje cola. Denk bijvoorbeeld aan zonne-instraling, cv, tocht, etc. Toch spelen ook aan de basis hiervan exponentiële functies een rol. Je kijkt eerst naar een ruimte in de vorm van een balk, en verwaarloost tocht en zonnestraling. Hoe reageert de temperatuur van zo’n huis op het aan- en uitzetten van de cv? Ga uit van de situatie dat de buitentemperatuur constant gelijk is aan 10 °C, en de binnentemperatuur gelijk aan 20 °C. Als de cv niet aanstaat, dan heb je ongeveer de situatie van de afkoelende kop koffie: de snelheid waarmee de temparatuur T in huis daalt is recht evenredig met het temperatuurverschil met de buitentemperatuur.

a

Voor een bepaald huis is de waarde van de evenredigheidsconstante gelijk aan (eenheid: min-1). Hoe lang duurt het voor het binnen is afgekoeld tot graden Celsius? En hoelang duurt het voor de temperatuur een halve graad is gezakt?

b

Hoeveel graden neemt de temperatuur in het begin af per minuut, en hoeveel na een uur?

Bij graden zet je de cv aan. Dit zorgt voor een temperatuurstijging. Hoe groot zal deze worden? Dat hangt af van veel factoren, waarvan de belangrijkste zijn: de grootte van de cv-ketel, en de grootte van het warmteverlies naar de omgeving. Bij een grotere cv-ketel zal de eindtemperatuur ook hoger zijn. Stel dat de eindtemperatuur voor dit huis graden is (je zult lang daarvoor de cv natuurlijk uitschakelen, maar het gaat nu om de "evenwichtssituatie" die zal ontstaan als je de cv steeds aan laat staan). Hoe zal het temperatuurverloop zijn? Er geldt: (waarbij de zelfde evenredigheidsconstante is als in de situatie zonder cv!), en de eindtemperatuur is in het geval dat de cv blijft aanstaan.

c

Ga na dat de temperatuur volgens de formule inderdaad stijgt.

d

Hoelang duurt het voor het weer 20 graden Celsius is?

Je wilt de temperatuur nu zo dicht mogelijk bij die  graden houden. Met een besturingssysteem zet je de cv nu steeds aan- en uit als je hier een halve graad van afzit. Je kunt dan de temperatuurkromme tekenen. Er ontstaat een soort zaagtand.

e

Hoe lang duurt het voor de cv weer afslaat? Hoe lang duurt het vervolgens voor hij opnieuw aanspringt? Wat is dus de periode van de temperatuurregeling? Welk deel van de tijd brandt de cv?

f

Stel je voor dat je de cv-ketel sneller kunt aansturen, door de cv te schakelen bij een kwart graad afwijking van de gewenste temperatuur. Hoelang wordt de periode dan? Welk deel van de tijd brandt de cv? Licht de antwoorden toe.

Als het buiten kouder wordt, kan de cv de ruimte minder goed verwarmen. De "evenwichtstemperatuur" zakt dan ook: de cv kan de ruimte tot maximaal 25 graden boven de buitentemperatuur verwarmen.

g

's Avonds koelt het buiten af tot 3 graden Celsius. Bereken nu in beide gevallen de periode en het percentage dat de cv brandt. De waarde van c blijft gelijk.

Opgave A4Waterdampdruk
Waterdampdruk

De maximale waterdampdruk is afhankelijk van de temperatuur en kan berekend worden met de onderstaande formule.

Hierin is:

  • de maximale dampdruk bij de heersende temperatuur in Pascal (Pa)

  • de temperatuur in graden Celsius (°C)

Niet altijd zal de maximale waterdampdruk heersen. Met een hygrometer wordt de relatieve vochtigheid gemeten. De heersende dampdruk kan met de volgende formule worden uitgerekend:

Hierin is:

  • de relatieve luchtvochtigheid

  • de heersende dampdruk in Pascal (Pa)

  • de maximale dampdruk bij de heersende temperatuur in Pascal (Pa)

a

Op de hygrometer wordt in een kamer een relatieve vochtigheid van % afgelezen.
Bereken de dampdruk in deze ruimte als de temperatuur  °C is.

Met de volgende formule kun je de massa van de waterdamp in een afgesloten ruimte uitrekenen:

Hierin is:

  • de massa van de waterdamp in kg

  • de heersende dampdruk in Pascal (Pa)

  • het volume in m3

  • de heersende temperatuur in de ruimte in K

  • de standaardtemperatuur K

  • de standaarddruk Pa

  • de relatieve dichtheid van waterdamp t.o.v. lucht

  • de dichtheid van lucht onder standaardomstandigheden kg/m3

b

Bereken de massa van de aanwezige waterdamp in een ruimte met volume van m3, een relatieve luchtvochtigheid van % en een temperatuur van  °C.

Je ziet dat er veel constanten in deze formule voorkomen, door die in te vullen is de formule te vereenvoudigen.
Verder is er voor een formule gegeven.

c

Schrijf de formule voor zo, dat alleen van , en afhankelijk is.

d

Bereken nu met behulp van de bij c gevonden formule de aanwezige hoeveelheid waterdamp in de gegeven ruimte.

verder | terug