Groeifactor `text(e)^(0,015) ~~ 1,015` en dat is een groei van `1,5` % per jaar.

`N(text(-)18) = 6*10^5 * text(e)^(0,015*text(-)18) ~~ 458028` , dus ongeveer `458text(.)000` inwoners.

`N'(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) * 0,015`
In 2018: `N'(0) = 9000` inwoners/jaar.
In 2028: `N'(10) ~~ 10457` inwoners/jaar.

`N(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t) = 1*10^6` geeft `text(e)^(0,015t) = 10/6` en `t = (ln(10/6))/(0,015)~~ 34,1` jaar. Dus in 2052.

Lees af dat de grafiek door `(1, 2*10^5)` en `(8, 5*10^4)` gaat.

De grafiek is op enkellogpapier getekend, dus de formule heeft de vorm `N = b*g^t` of `N = b * text(e)^(kt)` .

Bij `N = b*g^t` is `g = ((5*10^4)/(2*10^5))^(1/7) ~~ 0,82` .
En `(1, 2*10^5)` invullen in `N = b*0,82^t` geeft `b ~~ 243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*0,82^t` .

Bij `N = b*text(e)^(kt)` krijg je na invullen `2*10^5 = b*text(e)^(k)` en `5*10^4 = b*text(e)^(8k)` .
Beide zijden delen geeft `text(e)^(7k) = 0,25` en `k = (ln(0,25))/(7) ~~ text(-)0,198` en `b~~243803` .
Dus wordt de formule `N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t)` .

`N(t) ~~ 243803*0,82^t = 10text(.)000` geeft `0,82^t ~~ 0,041` en `t ~~ (log(0,041))/(log(0,82)) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

`N(t) ~~ 243803*text(e)^(text(-)0,198t) = 10text(.)000` geeft `text(e)^(text(-)0,198t) ~~ 0,041` en `t ~~ (ln(0,041))/(text(-)0,198) ~~ 16,09` .
Dus als `t ge 16,1` .

`t rarr oo` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) rarr 0` en dus `N(t) rarr 1200` .

Horizontale asymptoot `N = 1200` .

`1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t)) = 550` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 13/24` zodat `t ~~ 1,97776` en dat is ongeveer `119` minuten.

`v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t)` en als `t rarr oo` dan gaat `v(t) rarr 0` .
Dat wil niet zeggen dat `N` naar een constante nadert, maar de toenamesnelheid nadert wel naar `0` en dat is in overeenstemming met de conclusie in a.

`N'(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) > 0` voor elke waarde van `t` .

`t = 1,75` uur en `v(1,75) ~~ 216` leerlingen per minuut.

`v(0) = 372` leerlingen/min en `v(t) = 372text(e)^(text(-)0,31t) = 186` geeft `text(e)^(text(-)0,31t) = 0,5` en dus `t ~~ 2,24` . Dat is ongeveer 2 uur en 14 minuten.

Nee, de gemiddelde snelheid neemt slechts met ongeveer `4` % af.

Een looptempo van `2` minuten en `55` seconden over elke km.

`2` uur en `27` minuten.

Halvering per vaste periode, dus exponentiële groei. Elk exponentieel groeimodel is te schrijven m.b.v. een e-macht.

`H(t) = 1 * (0,5^(1/(4,486)))^t ~~ 1 * 0,856^5 ~~ 1 * text(e)^(text(-)0,155t)` .

Bij een exponentieel proces is de groeifactor niet afhankelijk van de (begin)hoeveelheid.

`0,5^(1/(8,06)) ~~ text(e)^(text(-)0,086)` , dus `k ~~ text(-)0,086` .

`H(t) = 1 * text(e)^(text(-)0,086t)` geeft `H'(t) = text(-)0,086 * text(e)^(text(-)0,086t) = text(-)0,086 * H(t)` , dus de evenredigheidsconstante is `text(-)0,086` .

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,1` geeft `t ~~ 26,8` .

Ook na `26,8` dagen.

`text(e)^(text(-)0,086t) = 0,01` geeft `t ~~ 72,3` . Na `72,3` dagen is hoeveelheid niet meer meetbaar. De stof verdwijnt (in theorie) nooit volledig.

Nee nooit, want `text(e)^(text(-)t/20) gt 0` voor elke waarde van `t` .
Dus `(1-text(e)^(text(-)t/20)) lt 1` zodat `400*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rarr 400` als `t` oneindig groot wordt.
De temperatuur van de oven nadert de `400` °C willekeurig dicht, maar wordt nooit `400` °C (wel `399,99999` °C).

Ja, zie tabel bij a. ( `1` % van `400` is `4` )

`(1-text(e)^(text(-)20/20))=0,632` , dus `63,2` % van `400` .

Opwarmen tot `290` °C:
`400*(1-text(e)^(text(-)t/20))=290 rArr 1-text(e)^(text(-)t/20)=290/400 rArr text(e)^(text(-)t/20)=1-290/400=400/400-290/400=(400-290)/400`
Dus `text(-)t/20=ln((400-290)/400) rArr t=text(-)20*ln((400-290)/400)~~25,8` min.
Op dezelfde manier geldt voor opwarmen tot `310` °C:
`t=text(-)20*ln((400-310)/400)~~29,8` min.
Dat duurt dus `29,8-25,8=4` min.

Teken de grafiek van `text(e)^(text(-)x)` . Een veer indrukken is in de tijd steeds moeilijker. Bij loslaten gebeurt het omgekeerde. Hoe groter het temperatuurverschil met de omgeving, hoe groter het warmte verlies.

Sabine gebruikt `t=0` vanaf het moment van afkoelen ( `t=100` ), terwijl Abdul start bij `t=100` .

`T_E=0` °C.
`T(t)=T_B+T_E-T_B rArr 290=310+(0-310)*(1-text(e)^(text(-)t/35)) rArr` `text(-)20=text(-)310*(1-text(e)^(text(-)t/35)) rArr text(e)^(text(-)t/35)=290/310 rArr` ` t=text(-)35*ln(290/310)~~2,3` min.

Opwarmen
Wanneer is de temperatuur van `190` °C bereikt?
`T(t)=T_B+(T_E-T_B)*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rArr 190=0+(400-0)*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rArr t=12,9` min.
Wanneer is de temperatuur van `210` °C bereikt?
Als je op `t=0` begint: `210=0+(400-0)*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rArr t=14,9` min.
Als je op `t=12,9` begint: `210=190+(400-190)*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rArr t=2` min.
`210` °C wordt bereikt op `t=12,9+2=14,9` min.

Afkoelen
Wanneer is de temperatuur van `190` °C weer bereikt?
`T(t)=T_B+(T_E-T_B)*(1-text(e)^(text(-)t/35)) rArr 190=210+(0-210)*(1-text(e)^(text(-)t/35)) rArr t=3,5` min.
`190` °C wordt weer bereikt op `t=14,9+3,5=18,4` min.

`(text(opwarmtijd))/(text(tijdconstante))=2/20=0,1`
`(text(afkoeltijd))/(text(tijdconstante))=(3,5)/35=0,1` .

Als het setpoint lager is (bijv. `150`  °C) dan wordt de opwarmtijd kleiner en de afkoeltijd groter, zodat bovenstaande verhoudingsgetallen niet meer gelijk zijn.

Opwarmtijd `t_1`
`A rArr B`
`155=145+(400-145)*(1-text(e)^(text(-)t_1/20)) rArr t_1=0,8` min.
`(text(opwarmtijd))/(text(tijdconstante))=(0,8)/20=0,04`
Afkoeltijd `t_2`
`C rArr D`
`145=155+(0-155)*(1-text(e)^(text(-)t_2/35)) rArr t_2=2,3` min.
`(text(afkoeltijd))/(text(tijdconstante))=(2,3)/35=0,07` .

Overshoot
Temperatuur `3` minuten nadat `210` °C is bereikt:
`T(3)=210+(400-210)*(1-text(e)^(text(-)3/20)) rArr text(overshoot)=(400-210)*(1-text(e)^(text(-)3/20))=26,5`  °C
Undershoot
Temperatuur `3` minuten nadat `190` °C is bereikt:
`T(3)=190+(0-190)*(1-text(e)^(text(-)3/35)) rArr text(undershoot)=(0-190)*(1-text(e)^(text(-)3/35))=174,4`  °C.

Zie vorige vraag.
De verwarming gaat pas opwarmen bij `174,4` °C.
Dus opwarmtijd:
`210=174,4+(400-174,4)*(1-text(e)^(text(-)t/20)) rArr 210-174,4-225,6=-225,6*text(e)^(text(-)t/20) rArr ` `t=text(-)20*ln((text(-)190)/(text(-)225,6))~~3,4` min.
Afkoelen van `236,5 rarr 190` °C
`190=236,5+(0-236,5)*(1-text(e)^(text(-)t/35)) rArr 190-236,5+236,5=236,5*text(e)^(text(-)t/35) rArr` `t=text(-)35*ln((text(-)190)/(text(-)236,5))~~7,7` min.
Per cyclus `3,4` min. aan en `7,7` min. uit.
Bij een setpoint van `150` °C wordt de opwarmtijd kleiner en de afkoeltijd groter.