Werken met e

Werken met e > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Toepassen

Als je 's morgens opstaat en je wilt de kamer op temperatuur brengen, dan gebeurt dat niet volgens figuur A, maar volgens figuur B. Er is een zekere tijd nodig om de kamer op de gewenste temperatuur te krijgen. De tijdconstante `tau` is hierin een belangrijke procesconstante.

De tijdconstante `tau` komt doordat de warmtestroom vanaf de ketel een (warmte)weerstand `R` ondervindt. Ook de hoeveelheid warm water die de ketel per tijdseenheid kan leveren (dat noem je de warmtecapaciteit `C` van het water en de ketel) speelt natuurlijk een rol.
Voor de tijdconstante `tau` geldt: `tau=R*C` .

In de regeltechniek wordt `tau` gedefinieerd als de tijd die nodig is om de temperatuur `63,2` % van de uiteindelijke verandering te laten bereiken. De grafiek in figuur B suggereert dat de temperatuur uiteindelijk op precies `21` °C blijft. Dat is natuurlijk niet zo, thermostaten kennen een zogenaamde tweestandentemperatuurregeling.
Wensen we een temperatuur van bijvoorbeeld `21` °C (insiders noemen dat het setpoint), dan worden de branders bijvoorbeeld ingeschakeld bij `T=20,5` °C en uitgeschakeld bij `T=21,5` °C (zie bijgaande figuur).

De waarde van `tau` wordt in de regeltechniek ook wel grafisch bepaald op de volgende manier:

trek een raaklijn aan het begin van de kromme;
bepaal het snijpunt van de raaklijn met de gewenste temperatuur;
trek een loodlijn uit het snijpunt naar de tijdas; hieruit volgt de tijdconstante `tau` .

Zowel het op temperatuur brengen 's morgens als je opstaat en het op temperatuur houden (regelen rond het setpoint) wordt beschreven door:

`T(t)=T_text(Begin)+(T_text(Eind)-T_text(Begin))*(1-text(e)^(text(-)t/tau))`

Hierin is:

`T(t)` de temperatuur
`t` de tijd
`text(e)` het getal van Euler ( `~~2,7183` )
`T_text(Begin)` de begintemperatuur
`T_text(Eind)` de eindtemperatuur
`tau` de tijdconstante van het proces

`T(t)` en `t` zijn variabelen, `text(e)` is een constante, `T_text(Begin)` , `T_text(Eind)` en `tau` zijn parameters of open constanten of constanten in één proces.
Hoe de formule werkt, zul je in de volgende opdrachten ervaren.

Opgave A1Opwarmen van een oven

Opwarmen van een oven

We nemen voor het gemak een omgevingstemperatuur van `0` °C. De temperatuur in de oven kan tot maximaal `400` °C. De tijdconstante `tau` voor het opwarmen bedraagt `20` minuten.

Schets de grafiek voor het opwarmen van de oven van `0` °C tot `400` °C. Neem `t` op interval `[0, 100]` minuten, gebruik de modelformule voor opwarmen en afkoelen.

Wordt volgens het model `T(t)=0+400*(1-text(e)^(text(-)t/20))` de temperatuur van `400` °C echt bereikt? Hoe groot wordt `T(t)` als `t` oneindig groot wordt? En wat betekent dat precies?

In de praktijk zegt men dat na vijf tijdconstanten ( `5*tau=5*20=100` min) de temperatuur is ingesteld. Is dit binnen `1` % nauwkeurig?

Bereken hoeveel procent van de gewenste temperatuurstijging bereikt is op `t=20` min.

Bereken de tijd die nodig is voor het opwarmen van `290` °C naar `310` °C. Geef dat met een kleur in jouw grafiek aan.

Opgave A2Afkoelen van een oven

Afkoelen van een oven

We gaan terug naar de vorige opgave en bekijken nu het afkoelingsproces. Voor het afkoelen van de oven bedraagt de tijdconstante `35` minuten.

Teken in hetzelfde assenstelsel als bij onderdeel a in Opgave 14, de grafiek voor het afkoelen van de oven. Neem `t` op interval `[100, 275]` minuten.

Waarom is de grafiek tijdens het opwarmen hol en tijdens het afkoelen bol? Anders geformuleerd:
Tijdens het opwarmen geldt: de temperatuurverandering is afnemend in de tijd.
Tijdens het afkoelen geldt: de absolute temperatuurverandering is afnemend in de tijd.
Leg dit eens uit.

Sabine schrijft dat tijdens de afkoeling geldt:
`T(t)=T_B+(T_E-T_B)*(1-text(e)^(text(-)t/tau))`
`T(t)=400+(0-400)*(1-text(e)^(text(-)t/35))`
Abdul schrijft:
Afkoelen: `T(t)=400-400*(1-text(e)^(text(-)(t-100)/35))` met `t ge 100` .
Wat vind jij beter? Wat zijn de verschillen?
Kun je beide schrijfwijzen verdedigen? Hoe?

Laat met een berekening zien dat de tijdsduur voor het afkoelen van de oven van `310` °C naar `290` °C slechts `2,4` minuten duurt.
Had je een tijd groter dan `4` minuten verwacht? Leg dat eens uit.

Opgave A3Brood bakken met een oven

Brood bakken met een oven

We gaan verder met onze oven. Nu gaan we het bakproces bekijken, daarbij blijven we uitgaan van

model: `T(t)=T_B+(T_E-T_B)*(1-text(e)^(text(-)t/tau))`
ovenbereik: `0 - 400` °C.
opwarmen: `tau=20` min.
afkoelen: `tau=35` min.

Stel je wilt brood bakken. Daarvoor is een temperatuur gewenst van `200` °C, met een differentie van `20` °C. Een differentie van `20` °C betekent hier dat het verwarmingselement wordt ingeschakeld bij `190` °C en bij `210` °C wordt uitgeschakeld.

Teken en bereken exact het temperatuurverloop van `1` cyclus van opwarmen en afkoelen.
Je mag op `t=0` beginnen met `0` °C, maar zo nodig ook met `T=190` °C. Plaats bij de grafiek formules die gelden voor de diverse perioden. (Loopt de tijd in jouw formules door of niet?)

Als je de opwarmtijd (van `190` °C naar `210` °C) deelt door de tijdconstante voor opwarmen, dan vind je een antwoord dat gelijk is aan de afkoeltijd (van `210` °C naar `190` °C) gedeeld door de tijdconstante voor afkoelen. Ga dit na.

Onderzoek de verhoudingsgetallen `(text(opwarmtijd))/(text(tijdconstante))` en `(text(afkoeltijd))/(text(tijdconstante))` als het setpoint bij deze oven `150` °C is (we gaan een cake bakken) met differentie van `10` °C. Beantwoord de vraag zowel kwalitatief (met grafiek) als kwantitatief (met berekening).

Broodbakken met looptijd
Als bij het broodbakken in bovengenoemde oven (setpoint `200` °C; differentie `20` °C) de oven een temperatuur van `210` °C heeft bereikt wordt de verwarming uitgeschakeld, maar dan houdt de warmtestroom naar de oven natuurlijk niet direct op. Er is sprake van een zgn. looptijd.
Voor deze oven is de looptijd `3` min. Tijdens de looptijd blijft de temperatuur nog stijgen. Je spreekt dan van 'overshoot'.
Is de temperatuur gedaald tot `190` °C, dan wordt de verwarming ingeschakeld, maar de warmtestroom is er dan nog niet. Dat duurt weer `3` min. (looptijd). Tijdens die looptijd daalt de temperatuur tot onder die `190` °C. Je spreekt dan van "undershoot" . In schema:

Bereken bij deze oven (setpoint `200` °C, differentie `20` °C en looptijd `3` min.) de overshoot en de undershoot.

Hoeveel minuten per cyclus staat de verwarming aan en hoeveel minuten uit?
Hoe veranderen deze waarden als het setpoint `150` °C is, de differentie `10` °C en looptijd `3` min. bedraagt?

verder | terug