Werken met e

Werken met e > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Testen

Opgave T1

Het aantal inwoners van een bepaalde stad B groeide vanaf 1990 met `1,5` % per jaar. Op 01-01-2018 heeft deze stad `600text(.)000` inwoners.

Er wordt verondersteld dat de groei de komende jaren zo door gaat. Op het stadhuis is de volgende formule opgesteld:

`N(t) = 6*10^5 * text(e)^(0,015t)`

Hierin is:

`t` de tijd in jaren na 2018
`N` het aantal inwoners van B

Laat zien dat deze formule inderdaad een bevolkingsgroei van `1,5` % laat zien.

Hoeveel inwoners had B volgens dit groeimodel in 2000?

Hoeveel bedraagt de groeisnelheid 2018? En in 2028?

In welk jaar overstijgt het aantal inwoners van B volgens dit groeimodel de `1` mln?

Opgave T2

Je ziet hier hoe een hoeveelheid `N` afneemt met de tijd `t` in dagen.

Stel een bij deze grafiek passende formule op.

Voor welke waarde van `t` (in één decimaal nauwkeurig) is `N(t) le 10text(.)000` ?

Opgave T3

Belangrijk nieuws verspreidt zich razendsnel. Het aantal leerlingen `N` dat op een zeker tijdstip `t` van een belangrijk feit op de hoogte is, wordt gegeven door de formule

`N(t) = 1200(1 - text(e)^(text(-)0,31t))`

Hierin is `t` in uren en is `t = 0` om 09:00 uur.

Op grond van deze formule kun je concluderen dat het aantal leerlingen dat van een belangrijk feit op de hoogte is uiteindelijk ongeveer constant wordt? Leg uit waarom.

Geef een vergelijking van de asymptoot van de grafiek van `N(t)` .

Bereken algebraïsch op welk tijdstip er `550` leerlingen van het feit gehoord hebben. Rond in het antwoord af op minuten.

Voor de snelheid `v` waarmee het nieuws zich verspreidt geldt: `v(t) = (text(d)N)/(text(d)t)` . Hoe ziet de formule voor de snelheid van de nieuwsverspreiding er uit? Kun je op grond van deze formule dezelfde conclusies als bij a trekken?

Toon algebraïsch aan dat de grafiek van `N` stijgend is.

Met welke snelheid verspreidt het nieuws zich om kwart voor 11? Geef het antwoord in gehelen per minuut.

Op welk tijdstip is de snelheid van de nieuwsverspreiding de helft van die om 09:00 uur? Geef dit tijdstip in minuten nauwkeurig.

Opgave T4

Hardlopers die regelmatig een bepaalde afstand lopen, zijn vaak nieuwsgierig naar hun eindtijd op een andere afstand. De Amerikaanse onderzoeker Pete Riegel stelde in 1977 de volgende formule op:

`v_2 = v_1 *((s_1)/(s_2))^(0,06)`

Hiermee kan met behulp van de bekende gemiddelde snelheid `v_1` op een bepaalde afstand `s_1` , de te verwachten gemiddelde snelheid `v_2` op een andere afstand `s_2` worden uitgerekend.

Hardlopers gebruiken vaak de volgende vuistregel: als de afstand verdubbelt, dan neemt je gemiddelde snelheid met `6` % af.

Onderzoek of de bovenstaande formule aan deze vuistregel voldoet.

In de onderstaande tabel staan de wereldrecords hardlopen op de weg bij de heren op een aantal afstanden zoals ze in het jaar 2015 waren.

		Wereldtijd in 2015
Wedstrijd	Afstand (m)	Uren	Minuten	Seconden
`10` km	`10000`	``	`26`	`44`
`15` km	`15000`	``	`41`	`13`
`10` mijl	`16093`	``	`44`	`23`
`20` km	`20000`	``	`55`	`21`
halve marathon	`21097`	``	`58`	`23`
`25` km	`25000`	`1`	`11`	`18`
`30` km	`30000`	`1`	`27`	`37`
marathon	`42195`	`2`	`02`	`57`

In de hardloopsport wordt vaak gekeken naar de tijd die een hardloper gemiddeld over een kilometer doet. Dit wordt het looptempo genoemd.

Bereken het looptempo van het wereldrecord op de marathon in het jaar 2015. Geef je eindantwoord in hele minuten en seconden nauwkeurig.

In onderstaande figuur is de logaritme van de tijd `t` in uren tegen de logaritme van de afstand `s` in kilometers van de wereldrecords op de afstanden uit de tabel uitgezet. Deze punten liggen bij benadering op een rechte lijn, die ook in de figuur is getekend.

Bepaal met behulp van de lijn in de figuur het te verwachten wereldrecord hardlopen op een afstand van `50` kilometer. Geef je eindantwoord in hele uren en minuten nauwkeurig.

Opgave T5

Radioactiviteit is een eigenschap van bepaalde instabiele zeer zware metalen. Bekende voorbeelden zijn radium en uranium. Het gaat daarbij om stoffen waarvan de atoomkern straling (in de vorm van bepaalde deeltjes) uitzendt. Soms is deze straling schadelijk voor leven.

Een voorbeeld is U-238, een isotoop van uranium die door het uitstoten van α-deeltjes (deeltjes die bestaan uit twee protonen en twee neutronen) wordt omgezet in thorium, Th-234. Uranium is een metaal dat in de natuur voorkomt, ruim $98$ % daarvan is U-238. De halfwaardetijd is de tijd die nodig is om de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid om te zetten in thorium. De halfwaardetijd is voor elke radioactieve stof een bepaald constant getal. De halfwaardetijd van U-238 is ongeveer $4,468 \cdot 10^{9}$ jaar.

Omdat de halfwaardetijd voor een radioactieve stof een constant getal is, is de hoeveelheid $H$ van die stof als functie van de tijd $t$ te beschrijven met een formule van de vorm $H (t) = H (0) \cdot e^{k t}$ . Leg uit waarom dat zo is.

Op $t = 0$ heb je $1$ kg U-238. Stel nu een formule op voor $H (t)$ .

Neem $t$ in miljarden jaren. $k$ heet de desintegratieconstante.

Waarom is de desintegratieconstante niet afhankelijk van de hoeveelheid U-238 waarmee je begint?

Bij onderzoek in het menselijk lichaam gebruiken artsen de stof jodium-131. Die stof is radioactief en daardoor kunnen deeltjes ervan in het menselijk lichaam van buitenaf worden gevolgd. De halveringstijd (of halfwaardetijd) van jodium-131 is $8,06$ dagen.

Bereken de desintegratieconstante van jodium-131.

Toon aan dat in dit model de vervalsnelheid recht evenredig is met de hoeveelheid radioactieve stof. Hoe groot is de bijbehorende evenredigheidsconstante?

Na hoeveel dagen is er nog $10$ % van de beginhoeveelheid over?

Na hoeveel dagen is de vervalsnelheid (de radioactiviteit) verminderd tot $10$ % van de beginsnelheid?

Als een meetnauwkeurigheid in mg van twee decimalen maximaal haalbaar is, na hoeveel dagen is de ingespoten $5$ mg jodium-131 dan niet meer meetbaar? Is de stof ooit volledig verdwenen?

verder | terug