Goniometrische functies > Goniometrische functiesToepassen
In de Westerse muziek worden zeven stamtonen onderscheiden, die samen een toonladder vormen. Deze zeven stamtonen worden aangeduid met A, B, C, D, E, F en G. De centrale A heeft een frequentie van `440` Hz ( `440` trillingen per seconde). Dit betekent dat in de lucht een trilling plaats vindt met die frequentie (is aantal trillingen per seconde). Voor de A geldt dan bijvoorbeeld
`u(t)=a*sin(440 *2 π*t)`
De luidheid van deze grondtoon wordt bepaald door de amplitude `a` . Neem voor het gemak `a=1` .
Bij een grondtoon klinken meestal boventonen mee.
De eerste boventoon heeft een frequentie die de helft is van die van de grondtoon.
De tweede boventoon heeft een frequentie die éénderde is van die van de grondtoon.
Enzovoorts.
De eerste boventoon van de A klinkt soms minder luid, en dan geldt (bijvoorbeeld)
`u_1 (t)=0,8 sin(880 *2 π*t)`
.
En bij de tweede boventoon past (bijvoorbeeld):
`u_1 (t)=0,6 sin(1320 *2 π*t)`
.
Tel je deze drie sinusfuncties op, dan krijg je een A met een bepaalde klankkleur.
Bekijk de formules voor een grondtoon en twee boventonen die je in
Maak eerst de grafiek van de grondtoon A. Zorg dat je precies drie periodes in beeld krijgt, bepaal dus eerst de periode.
Zet de twee boventonen er bij en tel deze functies op. Maak de bijbehorende grafiek.
Is de resulterende snaartrilling een zuivere sinusoïde?
De stamtoon E heeft een frequentie van `330` Hz.
Welke formule past bij deze toon als je weer uitgaat van een amplitude van `1` en een evenwichtsstand van `u=0` ?
De eerste boventoon hoor je maar voor
`50`
% van de geluidssterkte van de grondtoon E.
Welke formule past daar bij?
Waarom levert het samen horen van de grondtoon E met zijn eerste boventoon wel een periodieke trilling op, maar geen sinusoïde?