Goniometrische functies > Goniometrische formulesUitleg
Met behulp van de figuur hiernaast kun je de zogenaamde somformules afleiden. Je ziet hoe hier de hoeken `α` en `β` "op elkaar gestapeld" zijn. Het is de bedoeling om `sin(α+β)` uit te drukken in `sin(α)` , `sin(β)` , `cos(α)` en `cos(β)` met behulp van rechthoek `OACD` en de rechthoekige driehoeken `OBP` en `BCP` . Dit gaat alleen zolang `α+β` tussen `0` en `0,5 π` blijft. Alle andere situaties moet je met behulp van de symmetrieformules en de eenheidscirkel tot deze herleiden!
Ga na, dat
`sin(α+β)= (QP)/(OP)=(AC)/(OP)`
.
Ga ook na, dat
`/_PBC = alpha`
en daarmee
`sin(α)= (AB)/(OB)`
,
`cos(α)= (OA)/(OB)= (BC)/(BP)`
,
`sin(β)= (BP)/(OP)`
en
`cos(β)=(OB)/(OP)`
.
Dan is:
`sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)= (AB)/(OB) * (OB)/(OP) + (BC)/(BP) * (BP)/(OP) =`
` (AB)/(OP) + (BC)/(OP) = (AC)/(OP) =sin(α+β)`
.
Hiermee heb je afgeleid:
`sin(α+β)=sin(α)*cos(β)+cos(α)*sin(β)`
.
Met behulp van de symmetrieformules kun je hier dan weer varianten op maken.
En bovendien geldt als je
`alpha = beta = x`
neemt:
`sin(2x) = 2 sin(x) cos(x)`
.
Dit is een voorbeeld van een verdubbelingsformule.
In
Laat zien dat hieruit volgt `sin(x + 1/6 pi) = 1/2 sqrt(3)*sin(x) + 1/2 * cos(x)` .
Voor `beta` geldt `tan(beta) = b/a` , zie figuur.
Laat zien, dat `sin(x+beta) = a/(sqrt(a^2+b^2))*sin(x) + b/(sqrt(a^2 + b^2))*cos(x)` .
Laat zien, dat `a*sin(x) + b*cos(x) = sqrt(a^2+b^2) sin(x+beta)` waarin `tan(beta) = b/a` .
Je hebt nu ontdekt dat elke formule van de vorm `y = a sin(x) + b cos(x)` een sinusoïde is.
Laat zien, dat `3 sin(x) + 4 cos(x) ~~ 5 sin(x+0,93)` .
Laat zien, dat `sin(x) + cos(x) = sqrt(2) sin(x+ 1/4 pi)` .
In
Laat zien dat `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)` .
Je hebt al eerder gezien, dat `sin^2(x) + cos^2(x) = 1` .
Laat zien dat je hierbij uit de formule bij a kunt afleiden `cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)` .