Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `text(-) alpha` . Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))` .

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha` .

Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` , `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi` .

Je krijgt de grafiek `y=1` , dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x)+ cos^2(x)=1` .

De afleiding is een ander verhaal, daarbij pas je in `Delta OQP` de stelling van Pythagoras toe. Immers `|OP| = 1` .

Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.

Neem `alpha = x` en `beta = 1/6 pi` .
Dan is `sin(x + 1/6 pi) = sin(x)cos(1/6 pi) + cos(x)sin(1/6 pi)` en dus `sin(x + 1/6 pi) = sin(x)*1/2sqrt(3) + cos(x)*1/2` .

Neem `alpha = x` .
Dan is `sin(x + beta) = sin(x)cos(beta) + cos(x)sin(beta)` .

In de figuur zie je dat `sin(beta) = b/(sqrt(a^2 + b^2))` en `cos(beta) = a/(sqrt(a^2 + b^2))` .

Gebruik de formule die je bij c hebt gevonden en vermenigvuldig links en rechts met `sqrt(a^2 + b^2)` .

Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=3` en `b=4` .

Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=1` en `b=1` .

Gebruik `cos(alpha + beta) = cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)` en neem `alpha = beta = x` .

`sin^2(x) + cos^2(x) = 1` schrijf je als `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` .

En dan: `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)` .

Maak de grafiek met behulp van GeoGebra, Desmos, of een GR.

Gebruik `cos(2x) = 2cos^2(x) - 1` en schrijf dit als `cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .

Je kunt dan het gegeven functievoorschrift herleiden: `f(x) = cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .

`f(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` is een sinusoïde met amplitude `1/2` , periode `pi` en evenwichtsstand `y = 1/2` .

Je kunt kiezen van welke vorm van `f(x)` je gebruik maakt.

Bijvoorbeeld `cos^2(x) = 1` geeft `cos(x) = +-1` en dus `x = 0 + k* pi` .

Of `1/2 cos(2x) + 1/2 = 1` geeft `cos(2x) = 1` en dus `x = 0 + k* pi` .

Zie het Voorbeeld.
Met `a = 1 1/2` en `b = text(-)1/2 sqrt(3)` krijg je `sqrt(a^2+b^2) = sqrt(3) ~~ 1,73` en uit `tan(beta) = (text(-)1/2 sqrt(3))/(1 1/2)` volgt `beta ~~ text(-)0,52` rad.

`sin(x) + sin(x - 1/3 pi) = 1` wordt `1,73 sin(x - 0,52) = 1` .
Dit geeft `sin(x - 0,52) ~~ 0,577` zodat `x - 0,52 ~~ 0,62 vv x - 0,52 ~~ pi - 0,62` .

Dus `x ~~ 1,14 vv x ~~ 3,04` .

`sin^2(x) = 0` als `sin(x) = 0` , dus als `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .

Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` herleid dit tot `sin(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)` .

Dus `f(x) = text(-)1/2*cos(2x)+1/2` .

`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 0` geeft `cos(2x) = 1` en dus `2x = 0 + k*2pi` .

Ook dit geeft `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .

`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 1/2` geeft `cos(2x) = 0` en dus `x = 1/4 pi vv x = 3/4 pi vv x = 1 1/4pi vv x = 1 3/4 pi` .

Bekijk de grafiek en de ongelijkheid heeft als oplossing `1/4 pi lt x lt 3/4 pi vv 1 1/4 pi lt x lt 1 3/4 pi` .

Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)1,5; 1,5]` .

Gebruik `sin(x - 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) - cos(x)sin(1/4pi)` en
`sin(x + 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) + cos(x)sin(1/4pi)` .

Hiermee wordt `S(x) = 2*sin(x)cos(1/4pi) = 2*sin(x)*1/2 sqrt(2) = sqrt(2) sin(x)` .

`sqrt2 sin(x) = 1` geeft `x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi` .
Oplossing ongelijkheid: `1/4 pi ≤ x ≤ 3/4 pi + k*2pi` .

`f(x) = 0` geeft `tan(x) = 1/4pi + k*pi`
Op het gegeven interval zijn de nulpunten: `x = 1/4 pi` en `x = 1 1/4 pi` .

De asymptoten zijn `x = 3/4 pi` en `x = 1 3/4 pi` .

`f(x) = 1` geeft `tan(x - 1/4 pi) = sqrt(3)` en dus `x - 1/4 pi = 1/3 pi + k*pi` .
Dus krijg je `x = 7/12 pi vv x = 1 7/12 pi` .
Oplossing ongelijkheid: `7/12 pi le x lt 3/4 pi vv 1 7/12 pi ≤ x lt 1 3/4 pi` .

`f(x) = sin(x) + sin(x - 1/6pi)` .

`sin(x - 1/6pi) = sin(x)cos(1/6 pi) - cos(x)sin(1/6 pi) = 1/2 sqrt(3) sin(x) - 1/2 cos(x)` , dus:
`f(x) ~~ 1,87sin(x) - 0,5cos(x)` .

Gebruik vervolgens de formule `a*sin(x) + b*cos(x) = sqrt(a^2+b^2) sin(x+beta)` waarin `tan(beta) = b/a` .

De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)` .

`1,93 sin(x - 0,26) = 1` geeft `x ~~ 0,80 vv x ~~ 2,86 vv x ~~ 7,09 vv x ~~ 9,14` .
De oplossing van de ongelijkheid wordt `0 ≤ x ≤ 0,80 vv 2,86 ≤ x ≤ 7,09 vv 9,14 ≤ x ≤ 4pi` .

Elke ruit bestaat uit vier rechthoekige driehoeken waarvan de schuine zijde `5` is en dus de verticale rechthoekszijden `5 sin(1/2 alpha)` en de horizontale rechthoekszijden `5 cos(1/2 alpha)` zijn.

`l = 10*5cos(1/2 alpha)` en `b = 6*5sin(1/2 alpha)` .

`50cos(1/2 alpha)=40` geeft `cos(1/2 alpha) = 0,8`

Omdat `sin^2(1/2 alpha) + cos^2(1/2 alpha) = 1` is `sin^2(1/2 alpha) + 0,8^2 = 1` .

Dus `sin(1/2 alpha) = 0,6` (negatief antwoord vervalt).

Dit betekent dan `b=30*0,6=18` cm.

`OQ` is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden `2*5cos(1/2 alpha)` (horizontaal) en `3*5sin(1/2 alpha)` .

`OQ^2 = 100 cos^2(1/2 alpha) + 225 sin^2(1/2 alpha) = 100 + 125sin^2(1/2 alpha)` .

Hier is gebruikt dat `100 cos^2(1/2 alpha) + 100 sin^2(1/2 alpha) = 100` .

Dus `OQ = sqrt(100 + 125sin^2(1/2 alpha))` .

In dat geval is `OQ = OP` , dus `sqrt(100 + 125sin^2(1/2 alpha)) = 1/2*50sin(1/2 alpha)` .

Kwadrateren: `100 + 125sin^2(1/2 alpha) = 625sin^2(1/2 alpha)` .

Dus: `sin^2(1/2 alpha) = 100/500 = 0,2` en `sin(1/2 alpha) = sqrt(0,2)` .

Dit geeft `1/2 alpha ~~ 26,6^@` en `alpha ~~ 53^@` .

Elke ruit bestaat uit vier rechthoekige driehoeken waarvan de schuine zijde `5` is en dus de verticale rechthoekszijden `5 sin(1/2 alpha)` en de horizontale rechthoekszijden `5 cos(1/2 alpha)` zijn.

De oppervlakte van zo'n ruit is `4*1/2*5cos(1/2 alpha)*5sin(1/2 alpha) = 50 sin(1/2 alpha)cos(1/2 alpha)` .

Nu is `sin(2x) = 2sin(x)cos(x)` , dus `2sin(1/2 alpha)cos(1/2 alpha) = sin(alpha)` .

Hiermee wordt de oppervlakte van elke ruit `25sin(alpha)` .

Omdat er `19` van die ruiten zijn, is `A = 475sin(alpha)` .

Dat is het geval als `sin(alpha) = 1` en dus `alpha = 90^@` .

Die oppervlakte is `475` cm².

Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` en herleid dit tot: `1/2 cos(2x) - 1/2 = text(-)sin^2(x)` .

`f(x) = cos(2x) - sin^2(x) = cos(2x) + 1/2 cos(2x) - 1/2 = 1 1/2 cos(2x) - 1/2` .

`1 1/2 cos(2x) - 1/2 = 0` geeft `cos(2x) = 1/3` .
Dus `2x ~~ +- 1,23 + k*2pi` en `x ~~ +- 0,62 + k*pi` . De nulpunten zijn dus `(+-0,62; 0)` .

De maxima van `f` liggen op `y = 1` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 0 + k*pi` .

De minima van `f` liggen op `y = text(-)2` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 1/2 pi + k*pi` .

`tan(x-pi)+1 = 0` geeft `tan(x-pi) = text(-)1` en dus `x = text(-)1/4pi + pi + k*pi` .
De nulpunten zijn `x=3/4pi vv x=1 3/4pi` .

`x=1/2 pi` en `x=1 1/2pi` .

`tan(x-pi)+1 = 2` geeft `tan(x-pi) = 1` en dus `x = 1/4pi + pi + k*pi` .
Dus `x=1/4pi vv x=1 1/4pi` .

Grafiek: `0 le x le 1/4 pi vv 1/2 pi lt x le 1 1/4pi vv 1 1/2pi lt x le 2pi` .