Bekijk de figuur. De `x` -waarden van `P` en `P′` blijven gelijk ook als `α` verandert.
`sin(text(-) α)=text(-) sin(α)`
Ja, bijvoorbeeld `tan(text(-) α)=text(-) tan(α)` en `sin(π-α)=sin(α)` . En nog veel meer...
`sin^2(α)+ cos^2(α)=1`
Maak zelf geschikte figuren, eenheidscirkels met zowel `alpha` als `text(-) alpha` . Bij de formule voor `tan(alpha)` maak je gebruik van `tan(alpha) = (sin(alpha))/(cos(alpha))` .
Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` en `1/2 pi - alpha` .
Teken een eenheidscirkel met de hoeken `alpha` , `alpha + 1/2 pi` en `alpha - 1/2 pi` .
Je krijgt de grafiek `y=1` , dus je maakt zo aannemelijk dat `sin^2(x)+ cos^2(x)=1` .
De afleiding is een ander verhaal, daarbij pas je in `Delta OQP` de stelling van Pythagoras toe. Immers `|OP| = 1` .
Probeer beide situaties uit, het blijkt geen verschil te maken.
Neem
`alpha = x`
en
`beta = 1/6 pi`
.
Dan is
`sin(x + 1/6 pi) = sin(x)cos(1/6 pi) + cos(x)sin(1/6 pi)`
en dus
`sin(x + 1/6 pi) = sin(x)*1/2sqrt(3) + cos(x)*1/2`
.
Neem
`alpha = x`
.
Dan is
`sin(x + beta) = sin(x)cos(beta) + cos(x)sin(beta)`
.
In de figuur zie je dat `sin(beta) = b/(sqrt(a^2 + b^2))` en `cos(beta) = a/(sqrt(a^2 + b^2))` .
Gebruik de formule die je bij c hebt gevonden en vermenigvuldig links en rechts met `sqrt(a^2 + b^2)` .
Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=3` en `b=4` .
Gebruik de formule die je bij d hebt gevonden en neem `a=1` en `b=1` .
Gebruik `cos(alpha + beta) = cos(alpha) cos(beta) - sin(alpha) sin(beta)` en neem `alpha = beta = x` .
`sin^2(x) + cos^2(x) = 1` schrijf je als `cos^2(x) = 1 - sin^2(x)` .
En dan: `cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 1 - sin^2(x) - sin^2(x) = 1 - 2sin^2(x)` .
Maak de grafiek met behulp van GeoGebra, Desmos, of een GR.
Gebruik `cos(2x) = 2cos^2(x) - 1` en schrijf dit als `cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .
Je kunt dan het gegeven functievoorschrift herleiden: `f(x) = cos^2(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` .
`f(x) = 1/2 cos(2x) + 1/2` is een sinusoïde met amplitude `1/2` , periode `pi` en evenwichtsstand `y = 1/2` .
Je kunt kiezen van welke vorm van `f(x)` je gebruik maakt.
Bijvoorbeeld `cos^2(x) = 1` geeft `cos(x) = +-1` en dus `x = 0 + k* pi` .
Of `1/2 cos(2x) + 1/2 = 1` geeft `cos(2x) = 1` en dus `x = 0 + k* pi` .
Omdat `cos(x - 1/2 pi) = cos(1/2pi - x) = sin(x)` kun je het functievoorschrift schrijven als `f(x) = 3 sin(x)` .
Zie het Voorbeeld.
Met
`a = 1 1/2`
en
`b = text(-)1/2 sqrt(3)`
krijg je
`sqrt(a^2+b^2) = sqrt(3) ~~ 1,73`
en uit
`tan(beta) = (text(-)1/2 sqrt(3))/(1 1/2)`
volgt
`beta ~~ text(-)0,52`
rad.
`sin(x) + sin(x - 1/3 pi) = 1`
wordt
`1,73 sin(x - 0,52) = 1`
.
Dit geeft
`sin(x - 0,52) ~~ 0,577`
zodat
`x - 0,52 ~~ 0,62 vv x - 0,52 ~~ pi - 0,62`
.
Dus `x ~~ 1,14 vv x ~~ 3,04` .
`sin^2(x) = 0` als `sin(x) = 0` , dus als `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .
Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` herleid dit tot `sin(x) = 1/2 - 1/2 cos(2x)` .
Dus `f(x) = text(-)1/2*cos(2x)+1/2` .
`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 0` geeft `cos(2x) = 1` en dus `2x = 0 + k*2pi` .
Ook dit geeft `x = 0 vv x=pi vv x=2pi` .
`text(-)1/2*cos(2x)+1/2 = 1/2` geeft `cos(2x) = 0` en dus `x = 1/4 pi vv x = 3/4 pi vv x = 1 1/4pi vv x = 1 3/4 pi` .
Bekijk de grafiek en de ongelijkheid heeft als oplossing `1/4 pi lt x lt 3/4 pi vv 1 1/4 pi lt x lt 1 3/4 pi` .
Breng `S(x)` op je rekenmachine in beeld, venster bijvoorbeeld `[0, 2pi]xx[text(-)1,5; 1,5]` .
Gebruik
`sin(x - 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) - cos(x)sin(1/4pi)`
en
`sin(x + 1/4pi) = sin(x)cos(1/4pi) + cos(x)sin(1/4pi)`
.
Hiermee wordt `S(x) = 2*sin(x)cos(1/4pi) = 2*sin(x)*1/2 sqrt(2) = sqrt(2) sin(x)` .
`sqrt2 sin(x) = 1`
geeft
`x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi`
.
Oplossing ongelijkheid:
`1/4 pi ≤ x ≤ 3/4 pi + k*2pi`
.
`sin(x) = cos(x)` geeft `(sin(x))/(cos(x)) = tan(x) = 1` .
`tan(x) = 1` als `x = 1/4pi + k*pi` .
Dus `x = 1/4pi vv x = 1 1/4pi` .
`f(x) = 0`
geeft
`tan(x) = 1/4pi + k*pi`
Op het gegeven interval zijn de nulpunten:
`x = 1/4 pi`
en
`x = 1 1/4 pi`
.
De asymptoten zijn `x = 3/4 pi` en `x = 1 3/4 pi` .
`f(x) = 1`
geeft
`tan(x - 1/4 pi) = sqrt(3)`
en dus
`x - 1/4 pi = 1/3 pi + k*pi`
.
Dus krijg je
`x = 7/12 pi vv x = 1 7/12 pi`
.
Oplossing ongelijkheid:
`7/12 pi le x lt 3/4 pi vv 1 7/12 pi ≤ x lt 1 3/4 pi`
.
`f(x) = sin(x) + sin(x - 1/6pi)` .
`sin(x - 1/6pi) = sin(x)cos(1/6 pi) - cos(x)sin(1/6 pi) = 1/2 sqrt(3) sin(x) - 1/2
cos(x)`
, dus:
`f(x) ~~ 1,87sin(x) - 0,5cos(x)`
.
Gebruik vervolgens de formule `a*sin(x) + b*cos(x) = sqrt(a^2+b^2) sin(x+beta)` waarin `tan(beta) = b/a` .
De formule wordt dan: `f(x) ~~ 1,93 sin(x - 0,26)` .
`1,93 sin(x - 0,26) = 1`
geeft
`x ~~ 0,80 vv x ~~ 2,86 vv x ~~ 7,09 vv x ~~ 9,14`
.
De oplossing van de ongelijkheid wordt
`0 ≤ x ≤ 0,80 vv 2,86 ≤ x ≤ 7,09 vv 9,14 ≤ x ≤ 4pi`
.
Lees af uit de formule:
evenwichtslijn: `y=text(-)1`
amplitude: `2`
periode: `(2pi)/2 = pi`
`y=0`
én
`0=text(-)1+2*sin(2x) rArr sin(2x)=1/2`
.
Stel
`beta=2x rArr sin(beta)=1/2 rArr beta=1/6 pi vv beta=5/6 pi`
.
Dat betekent
`2x=1/6 pi+k*2pi vv 2x=5/6 pi+k*2pi`
en
`x=1/12 pi+k*pi vv x=5/12 pi+k*pi`
.
`y=sin(2x) rArr` heeft bereik: `[text(-)1, 1]` .
`y=2*sin(2x) rArr` heeft bereik: `[text(-)2, 2]` .
`y=b+2*sin(2x) rArr` bereik: `[text(-)2+b, 1+b]`
`text(-)2+b > 0` geeft `b>2` .
In driehoek
`DPS`
geldt:
`DP^2=PS^2-DS^2`
dus
`DP^2=16-sin^2(x)`
en
`DP=sqrt(16-sin^2(x))`
`MP=MD-DP`
geeft
`MP=cos(x)+sqrt(16-sin^2(x))`
Maximum:
`SM+SP=5`
.
Minimum:
`SP-SM=3`
.
Cosinusregel:
`SP^2=MP^2+MS^2-2*MP*MS*cos(x) rarr 16=16+1-8*cos(x) rarr cos(x)=1/8`
.
Dus
`x~~0,46pi vv x~~text(-)0,46pi`
; in graden:
`x~~82,8^@ vv x~~277,2^@`
.
`b(x)=4+cos(x)`
en
`a(x)=cos(x)+sqrt(16-sin^2(x))`
.
Het verschil wordt dus bepaald door het verschil tussen
`4`
en
`sqrt(16-sin^2(x))`
.
Dit verschil is maximaal wanneer
`sin^2(x)`
maximaal is, ofwel wanneer
`sin^2(x)=1`
.
Dan is
`sqrt(16-1^2)=sqrt(15)~~3,87`
.
Het verschil is dus maximaal
`4-3,87=0,13`
.
Gebruik `cos(2x) = 1 - 2 sin^2(x)` en herleid dit tot: `1/2 cos(2x) - 1/2 = text(-)sin^2(x)` .
`f(x) = cos(2x) - sin^2(x) = cos(2x) + 1/2 cos(2x) - 1/2 = 1 1/2 cos(2x) - 1/2` .
`1 1/2 cos(2x) - 1/2 = 0`
geeft
`cos(2x) = 1/3`
.
Dus
`2x ~~ +- 1,23 + k*2pi`
en
`x ~~ +- 0,62 + k*pi`
. De nulpunten zijn dus
`(+-0,62; 0)`
.
De maxima van `f` liggen op `y = 1` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 0 + k*pi` .
De minima van `f` liggen op `y = text(-)2` . De bijbehorende `x` -waarden zijn `x = 1/2 pi + k*pi` .
`tan(x-pi)+1 = 0`
geeft
`tan(x-pi) = text(-)1`
en dus
`x = text(-)1/4pi + pi + k*pi`
.
De nulpunten zijn
`x=3/4pi vv x=1 3/4pi`
.
`x=1/2 pi` en `x=1 1/2pi` .
`tan(x-pi)+1 = 2`
geeft
`tan(x-pi) = 1`
en dus
`x = 1/4pi + pi + k*pi`
.
Dus
`x=1/4pi vv x=1 1/4pi`
.
Grafiek: `0 le x le 1/4 pi vv 1/2 pi lt x le 1 1/4pi vv 1 1/2pi lt x le 2pi` .