Goniometrische functies > Differentiëren van goniometrische functies
12345Differentiëren van goniometrische functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Beweeg het punt `P` over de sinusfunctie en controleer dat de blauwe grafiek de waarde va de hellingen weergeeft.

b

`f'(x)=cos(x)` . (Maar dat weet je pas zeker na een echt bewijs.)

c

`f'(x)=text(-)sin(x)` . (Maar dat weet je pas zeker na een echt bewijs.)

Opgave 1

Gebruik GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine.

Opgave 2
a

`f'(0) = cos(0) = 1`

b

`f'(0) = 1` en `f(0) = 0` , dus je krijgt `y=x` .

c

`g'(1/2 pi) = text(-)sin(1/2 pi) = text(-)1` en `g(1/2 pi) = 0` , dus je krijgt `y=text(-)x + 1/2pi` .

Opgave 3
a

`f'(x) = 2 cos(x)`

b

`f'(x) = 2cos(2x)`

c

`f'(x) = 2 sin(x) cos(x)`

d

`h'(t) = 12 cos(0,5pi t) * 0,5pi = 6pi cos(0,5pi t)`

e

`I'(t) = text(-)30 sin(1/6pi t) * 1/6pi = text(-)5pi sin(1/6 pi t)`

f

Omdat `f(x) = sin^2(x) + cos^2(x) = 1` is `f'(x) = 0` .

Opgave 4

`f(x) = (sin(x))/(cos(x))` en dus `f'(x) = (cos(x) * cos(x) - sin(x) * text(-)sin(x))/(cos^2(x)) = 1/(cos^2(x))` .

Opgave 5

Hopelijk vind je hetzelfde als in het voorbeeld.

Opgave 6
a

`f'(x) = 8800pi cos(440pi x)` en raaklijn `y = 8800pi x` .

b

`f'(x) = 1/(cos^2(x))` en `y = x` .

Opgave 7
a

Evenwichtsstand `y = (3,05 + 3,15)/2 = 3,10` , amplitude `A = 0,05` , periode `60/40 = 1,5` en horizontale verschuiving `t = 0` .

b

De grafiek is dan zo steil mogelijk en loopt naar beneden.

c

Doen.

d

De grootste snelheid van inademen zit bijvoorbeeld bij `t = 3/4 * 1,5 = 1,125` Dan is de snelheid van inademen `L'(1,125) ~~ 0,021` .

Opgave 8
a

`f_1'(x) = text(-)4 sin(x)`

b

`f_2'(x) = 8 cos(2x - 0,25pi)`

c

`f_3'(x) = text(-)100 sin(x) cos(x)`

d

`f_4'(x) = text(-)2 cos(x-1)`

Opgave 9
a

Gebruik de formule voor `a sin(x) + b cos(x)` met `a=1` en `b=text(-)sqrt(3)` .

b

De grafiek is een sinusoïde, dus differentiëren is niet nodig.
De extremen krijg je als `sin(x - 1/3pi) = +-1` .
Dus als `x = 5/6 pi vv x = 1 5/6 pi` .

Max. `f(5/6 pi) = 1` en min. `f(1 5/6 pi) = text(-)3` .

c

`f'(x) = 2 cos(x - 1/3pi)` dus `f'(1/2 pi) = sqrt(3)` dus de raaklijn wordt `y = sqrt(3) x + b` .
`f(1/2 pi) = 0` , dus `b = text(-)1/2 pi sqrt(3)` .

De vergelijking van de raaklijn is `y = sqrt(3) x - 1/2 pi sqrt(3)` .

Opgave 10
a

De periode is `(0,05)/3 = 1/60` minuut. Er gaan dus `60` ademhalingen in een minuut.

b

De evenwichtsstand is `3,1` . De periode `1/60` . De amplitude is `0,05` . Er is geen verschuiving. Dit levert de sinusoïde `V(t) = 3,1 + 0,05 sin(120pi t)` .

c

De toenamesnelheid is de afgeleide `V'(t) = 0,05 cos(120pi t)*120pi` .
Op `t = 7/480` is die toenamesnelheid dus `V'(t) = 0,05 cos(1,75pi)*120pi ~~ 13,3` L/min.

Opgave 11
a

`y = 1/2 x + 4` . Neem als venster bijvoorbeeld `[0,2pi]xx[text(-)2,10]` .

b

`f'(x) = 0,5 + 2 cos(x) = 0` als `cos(x) = text(-)0,25` . Dit geeft de toppen `(1,82;6,85)` en `(4,46;4,29)` .

c

Nee die vallen niet samen, want deze grafiek is een sinus die slingert om een stijgende lijn, terwijl de standaardsinus slingert om een horizontale lijn.

Opgave A1
a

Nee, op het laagste punt is de snelheid `0` en op het hoogste punt ook weer.

b

`h'(t) = 10*cos(2pi*t)*2pi = 20pi cos(2pi*t)` .

c

Dan is `h'(0) = 20pi ~~ 62,8` cm/s.

Opgave A2
a

De hoogste snelheid is `h'(0) = 20pi` cm/s.

De laagste snelheid is `h'(0,5) = text(-)20pi` cm/s.

b

Je kunt de periode waarin `MA` een complete cirkel doorloopt verkleinen. Maak je die b.v. `0,5` s, dan wordt de formule `h(t) = 10*sin(4pi*t)` en de formule voor de snelheid dus `h'(t) = 40pi cos(4pi*t)` zodat de maximale snelheid twee keer zo groot wordt.

Je kunt de lengte van `MA` vergroten. Maak je die b.v. `15` cm, dan wordt de formule `h(t) = 15*sin(2pi*t)` en de formule voor de snelheid dus `h'(t) = 30pi cos(2pi*t)` zodat de maximale snelheid anderhalf keer zo groot wordt.

Opgave T1
a

`h'(t) = 8 sin((pi)/4 t)*(pi)/4 = 2pi sin((pi)/4 t)` .

De gevraagde snelheid is `h'(0) = 0` m/s.

b

De periode van deze sinusoïde is `8` s.

`h'(2) = 2pi sin(1/2 pi) = 2pi` m/s.

Opgave T2
a

`f'(x) = 1 + 2 cos(x) = 0` en dus `cos(x) = text(-)0,5` zodat `x = 2/3 pi vv x = 4/3 pi` .
Je krijgt max. `f(2/3 pi) = 2/3 pi + sqrt3` en min. `f(4/3 pi) = 4/3 pi - sqrt3` .

b

In de raakpunten is de afgeleide gelijk aan `1` .
`f'(x) = 1` geeft `cos(x) = 0` en dit geeft `x = 0,5pi vv x = 1,5pi` .
In `(0,5pi; 0,5pi + 2)` is de raaklijn `y = x + 2` .
In `(1,5pi; 1,5pi - 2)` is de raaklijn `y = x - 2` .

verder | terug