Goniometrische functies > Differentiëren van goniometrische functies
123Differentiëren van goniometrische functies

Theorie

Het differentiëren van goniometrische functies (waarin sinus en/of cosinus voorkomen) is gebaseerd op:

  • De afgeleide van `f(x)=sin(x)` is `f'(x)=cos(x)` .

  • De afgeleide van `f(x)=cos(x)` is `f'(x)= text(-) sin(x)` .

  • De afgeleide van `f(x)=tan(x)` is `f'(x)=1/ (cos^2(x))` .

> bewijs

Om de afgeleide van `y = sin(x)` te bepalen kijk je naar het differentiequotiënt:

`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h` als `h rarr 0`

Gebruik de goniometrische formule `sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)` .

`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h = (sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x))/h`

Omdat `cos(h) rarr 1` als `h rarr 0` kun je dit schrijven als

`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h = (cos(x)sin(h))/h = cos(x)*(sin(h))/h`

En omdat voor `h rarr 0` geldt dat `sin(h) rarr h` , staat hier

`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h rarr cos(x)` als `h rarr 0`

Precies wat je wilde aantonen...

De afgeleide van `f(x) = cos(x)` kun je op dezelfde wijze afleiden.

De afgeleide van `f(x) = tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` leid je met behulp van de quotiëntregel af.

Om de afgeleide van een functie waarin sinus en/of cosinus voorkomen te bepalen heb je ook vaak nog de overige differentieerregels nodig.

Bijvoorbeeld moet je bij afgeleide van een sinusoïde rekening houden met de kettingregel en met de constante-regels.

verder | terug