Goniometrische functies > Differentiëren van goniometrische functiesTheorie
Het differentiëren van goniometrische functies (waarin sinus en/of cosinus voorkomen) is gebaseerd op:
-
De afgeleide van `f(x)=sin(x)` is `f'(x)=cos(x)` .
-
De afgeleide van `f(x)=cos(x)` is `f'(x)= text(-) sin(x)` .
-
De afgeleide van `f(x)=tan(x)` is `f'(x)=1/ (cos^2(x))` .
Om de afgeleide van `y = sin(x)` te bepalen kijk je naar het differentiequotiënt:
`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h` als `h rarr 0`
Gebruik de goniometrische formule `sin(x+h) = sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h)` .
`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h = (sin(x)cos(h) + cos(x)sin(h) - sin(x))/h`
Omdat `cos(h) rarr 1` als `h rarr 0` kun je dit schrijven als
`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h = (cos(x)sin(h))/h = cos(x)*(sin(h))/h`
En omdat voor `h rarr 0` geldt dat `sin(h) rarr h` , staat hier
`(Delta y)/(Delta x) = (sin(x+h)-sin(x))/h rarr cos(x)` als `h rarr 0`
Precies wat je wilde aantonen...
De afgeleide van `f(x) = cos(x)` kun je op dezelfde wijze afleiden.
De afgeleide van `f(x) = tan(x) = (sin(x))/(cos(x))` leid je met behulp van de quotiëntregel af.
Om de afgeleide van een functie waarin sinus en/of cosinus voorkomen te bepalen heb je ook vaak nog de overige differentieerregels nodig.
Bijvoorbeeld moet je bij afgeleide van een sinusoïde rekening houden met de kettingregel en met de constante-regels.