Goniometrische functies

Opgave 7

Ga uit van twee harmonische trillingen `u_1` en `u_2` . Bepaal in de elk van de volgende gevallen of `u(t) = u_1(t) + u_2(t)` weer een harmonische trilling is. Bepaal in dat geval de frequentie en amplitude.

a

`u_1 = 2 cos(t)` en `u_2 = 5 + sin(t)`

b

`u_1 = 2 cos(50pi t)` en `u_2 = 5 + sin(50pi t)`

c

`u_1 = 2 cos(50pi t)` en `u_2 = 5 + sin(50pi (t - 2))`

d

`u_1 = 2 cos(50pi t)` en `u_2 = 5 + sin(100pi t)`

Opgave 8

Je kunt met een hoorn lage tonen spelen. Zo’n toon heeft bijvoorbeeld een frequentie van `80` Hz. De toon kun je voorstellen door een sinusoïde met een amplitude van `10` .
Op een hobo speel je hogere tonen met een frequentie van bijvoorbeeld `400` Hz. Deze toon kun je je voorstellen door een sinusoïde met een amplitude van `5` .

a

Stel voor beide tonen een formule op voor de bijbehorende sinusoïde.

b

Iemand hoort de beide tonen tegelijk. Teken de grafiek van de toon die hij hoort. Zorg ervoor dat er precies twee periodes zichtbaar zijn.

c

De amplitudes zijn een maat voor de sterkte van het geluid. Welke amplitude heeft de grafiek die je bij b hebt gemaakt?

Opgave 9

Twee trillingen hebben alleen een faseverschil. Als voor de ene trilling geldt `y_1 = sin(t)` dan geldt voor de andere `y_2 = sin(t - p)` . Een puntmassa trilt zuiver harmonisch onder invloed van beide trillingen.

a

Neem `p=0` . Welke formule geldt dan voor `y(t)=y_1+y_2` ?

b

Neem `p = pi` . Welke formule geldt dan voor `y(t)=y_1+y_2` ?

c

Neem `p = 1/2 pi` . Welke formule geldt dan voor `y(t)=y_1+y_2` ?

Opgave 10

Een passerend schip veroorzaakt op een rivier een golf die tegen de wal wordt teruggekaatst. Gedurende enige tijd ondervindt een klein vissersbootje zowel invloed van de oorspronkelijke golf als van de teruggekaatste golf. Bij de terugkaatsing wordt door demping de amplitude kleiner en wel `2/3` deel van de oorspronkelijke amplitude.
De teruggekaatste golf is het spiegelbeeld van de voortzetting van de oorspronkelijke golf. Stel je voor dat voor de oorspronkelijke golf geldt `h(t) = sin(t)` met `t` in radialen. Verder bevindt de dichtstbijzijnde golftop zich `5/6` periode uit de wal.

a

Leg uit dat voor de combinatie van beide golven geldt: `h(t) = sin(t) + 2/3 sin(t + 3 1/3pi)` .

b

De combinatie van beide golven is een sinusoïde. Welke amplitude heeft deze sinusoïde?

Oefenen