Denk om radialen. De periode van zo'n trilling is `1/440` s, dus kies bijvoorbeeld op de `t` -as een klein interval, bijvoorbeeld `[0, 1/220]` . De schaalverdelingen op de assen moet je verschillend nemen: `x : y = 1 : 100` .
Dit wordt geen sinusoïde.
`u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0)) = 2 * sin(2pi * t)`
Er is geen faseverschil omdat beide harmonische trillingen op `t=0` starten in hetzelfde punt.
Je krijgt
`u(t) = sin(2pi * t) + sin(2pi * (t - 0,2))`
en dat blijkt een sinusoïde te zin met een amplitude van
`~~ 1,6`
, een periode van
`1`
, een horizontale verschuiving van
`0,1`
en met een evenwichtslijn met vergelijking
`y=0`
.
Verder experimenteren met
`r`
levert een veranderende horizontale verschuiving op en een verandering van de amplitude.
Bij
`r = 0,5`
bijvoorbeeld wordt de amplitude
`0`
.
Dan gaan beide trillingen elkaar uitdoven.
`u` is geen sinusoïde.
Dat lukt alleen als de periodes van `u_1` en `u_2` hetzelfde zijn.
Je krijgt nu als het ware de grafiek van `u_2` als een soort van kronkelige evenwichtsstand waar de grafiek van `u_1` omheen kronkelt. De periode is die van `u_2` , dus `5` .
De periode van
`u`
is
`2`
.
De periode van
`u_1`
is
`2/3`
.
De periode van
`u_2`
is
`1/2`
.
De periode van
`u`
is het kleinste getal waar zowel
`2/3`
als
`1/2`
een geheel aantal keer in past.
Neem als assen
`[0,4pi] xx [text(-)2,2]`
en bepaal de twee opeenvolgende toppen van
`u`
.
De frequentie is
`2pi`
, de amplitude is ongeveer
`1,83`
en de evenwichtslijn is
`y = 1`
.
De frequentie is `2pi` , de amplitude is ongeveer `2,58` , de evenwichtsstand is `u = 1` en de horizontale verschuiving is `text(-)0,36` . Hieruit volgt `v(t) ~~ 2,58 sin(t + 0,36) + 1` .
Maak de grafieken van
`y_1`
,
`y_2`
en
`y(t)=y_1+y_2`
.
Grafiek:
`y(t) ~~ 19,40 sin((2pi)/5 (t + 0,41))`
.
Amplitude: `~~19,40` .
Maak de grafieken van
`y_1`
,
`y_2`
en
`y(t)=y_1+y_2`
.
Grafiek:
`y(t) ~~ 22,35 sin(t - 0,46)`
.
Amplitude: `~~22,35` .
Beide functies hebben verschillende periodes.
De periode van
`u_1`
is
`2/3 pi`
en die van
`u_2`
is
`1/2 pi`
.
Beide trillingen hebben periodes die
`2pi`
als kleinste gemeenschappelijke veelvoud hebben. Dat is de periode van
`u`
.
`u(t) ~~ 2,24 sin(t + 1,11) + 5`
.
De frequentie is
`1/(2pi)`
en de amplitude is
`~~2,24`
.
`u(t) ~~ 2,236 sin(50pi (t + 0,007)) + 5`
.
De frequentie is
`(50pi)/(2pi) = 25`
en de amplitude is
`~~2,24`
.
`u(t) ~~ 2,236 sin(50pi (t + 0,007)) + 5`
.
De frequentie is
`(50pi)/(2pi) = 25`
en de amplitude is
`~~2,24`
.
Dit is geen sinusoïde omdat de periodes van `u_1` en `u_2` verschillend zijn.
Hoorn:
`u_(text(hoorn)) = 10 sin(160pi t)`
.
Hobo:
`u_(text(hobo)) = 5 sin(800pi t)`
.
Kies voor `t` het interval `[0; 0,025]` .
De maximale uitwijking uit de evenwichtsstand is `15` .
`y = sin(t) + sin(t) = 2 sin(t)` .
Beide trillingen doven elkaar nu uit: `y(t)=0` .
`y ~~ 1,41 sin(t + 1/4pi)` .
De teruggekaatste golf bereikt het bootje `2 * 5/6 * 2pi = 3 1/3 pi` later. Er is dus een verschuiving van `3 1/3 pi` .
Als je de grafiek van de formule bij a maakt, krijg je een sinusoïde die te kunt schrijven als `h(t) ~~ 0,88 sin(t - 0,71)` . Dus de amplitude is ongeveer `0,88` m.
De amplitude is `1` cm (is ingesteld), de frequentie is `0,5` Hz (ingesteld), dus de periode is `1/(0,5)=2` s.
Na `6` seconden is `x=7,5` cm. Dus de snelheid waarmee `x` verandert is `(7,5)/6 = 1,25` cm/s.
Bij `x=6` hoort dus `t=6/(1,25)=4,8` s.
`u(t) = text(-)1 sin((2pi)/2*4,8) = text(-)sin(4,8pi) ~~ text(-)0,59` cm.
Omdat `x=1,25t` , is `t=x/(1,25)` .
`u(x) = text(-)1 sin((2pi)/2*x/(1,25)) = text(-)sin(0,8pix)` cm.
De amplitude wordt `2` cm.
Bij de oorspronkelijk waarde van
`u`
komt door de weerkaatsing nog een keer dezelfde waarde bij.
Dus nu wordt de uitwijking
`text(-)1,18`
cm.
Bij elke terugkaatsing wordt er weer `1` bij de amplitude opgeteld, de amplitude komt buiten het beeldscherm.
De amplitudes worden bij toenemende `x` kleiner, maar met toenemende `t` ook langzaam groter.
De periode is `1/(2,5) = 0,4` s.
Neem bijvoorbeeld
`u_1(t) = A_1 sin((2pi)/(0,4)*t) = sin(5pi t)`
en
`u_2(t) = A_2 sin(5pi t)`
.
Dan is
`u_1 + u_2 = (A_1 + A_2) sin(5pi t)`
.
Neem bijvoorbeeld `u_1(t) = A_1 sin(5pi t)` en `u_2(t) = A_2 sin(6pi t)` .
De toppen van
`u_1`
vind je als
`u'_1 = 5piA_1 cos(5pi t) = 0`
.
Dat is als
`5pi t = 1/2 pi + k*pi`
, dus
`t = 1/10 + k*1/5`
.
De toppen van
`u_2`
vind je als
`u'_2 = 6piA_1 cos(6pi t) = 0`
.
Dat is als
`6pi t = 1/2 pi + k*pi`
, dus
`t = 1/12 + k*1/6`
.
Die tijdstippen zijn ongelijk.
Harmonische trilling omdat beide periodes gelijk zijn.
De frequentie is `1/ (2 π)` en de amplitude is `4,55` .
De trillingen hebben verschillende frequenties. Deze kun je niet als zuiver sinusoïde schrijven.
Harmonische trilling omdat beide periodes gelijk zijn.
De frequentie is `110` Hz en de amplitude is `8` .