Goniometrische functies > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Toepassen

Opgave A1Zentrum Paul Klee
Zentrum Paul Klee

Op de foto’s zie je het Zentrum Paul Klee in Zwitserland. Het gebouw heeft een bijzondere vorm: het bestaat uit drie afdelingen met daaroverheen een golvend dak.

De drie afdelingen zijn verbonden door een lange gang. In figuur 1 zie je een schematische doorsnede van het gebouw en de lange gang. In deze figuur is duidelijk te zien dat het dak bestaat uit drie golven met verschillende periodes. Ook de hoogtes zijn verschillend.

figuur 1

Elke golf begint en eindigt op een laagste punt. Voor de linker golf in de figuur kan men de volgende formule opstellen:

`h = 7 + 7 sin((2pi)/60(x-15))`

Hierin is `h` de hoogte van de golf boven het laagste punt in meter en `x` de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van deze golf.

De vloer van de gang bevindt zich `1` meter boven het laagste punt van de golven. De gang zelf is `3,5`  meter hoog.

a

Bereken de lengte van het gedeelte van de gang dat zich geheel onder het linker dak, dus onder de linker golf, bevindt in cm nauwkeurig.

De golf die hoort bij het middelste dak is `51` meter lang en `12,5` meter hoog. Hier hoort een formule bij van de vorm `h = a + a sin(c(x-d))` met `h` de hoogte van de golf in meter boven het laagste punt en `x` de horizontale afstand in meter vanaf het beginpunt van de linker golf.

b

Bereken de waarden van `a` , `c` en `d` in deze formule.

We kijken nu naar het rechter dak. Om de afmetingen hiervan te berekenen, kan de architect bijvoorbeeld als volgt te werk gaan. Hij gaat voor het dak uit van een sinusoïde met een periode van `39`  meter. Verder wil hij dat onder het dak een benedenverdieping past van `24` meter breed en `4,5`  meter hoog. In figuur 2 is de doorsnede getekend die bij deze situatie hoort. De golf begint linksonder in het punt met coördinaten `(0, 0)` .

figuur 2
c

Bereken welke hoogte de architect nu minimaal moet nemen voor de golf die hoort bij het dak in deze situatie. Geef je antwoord in dm nauwkeurig.

Opgave A2Het ontwerp van een brug
Het ontwerp van een brug

Een gemeente wil in een park een brug over een vijver aanleggen. De brug moet:

  • minstens `8,00` meter overspannen (de breedte van de vijver),

  • als zijaanzicht de vorm van een sinusoïde hebben (om esthetische redenen),

  • horizontaal aansluiten op beide oevers (de oevers liggen even hoog),

  • een hoogste punt van `1,00` m boven het wateroppervlak hebben (om roeiboten eronderdoor te kunnen laten varen); het water staat 0,20 m onder het niveau van de beide oevers,

  • maximaal een helling `1/15` hebben (voor mensen in een rolstoel).

In de figuur staat een schets van een zijaanzicht van de situatie, waarbij de punten waarin de brug horizontaal aansluit op beide oevers steeds `A` en `B` genoemd worden. De tekening is niet op schaal.

Kies in dit zijaanzicht een assenstelsel waarin de `x` -as op de hoogte van beide oevers ligt en de `y` -as door het hoogste punt van de brug gaat. Zowel op de `x` -as als op de `y` -as is de eenheid de meter. Het zijaanzicht kun je nu beschrijven door de formule:

`y = 0,40 + 0,40cos((2pi)/p * x)`

De periode `p` is positief. De formule voldoet aan de eisen 2, 3 en 4. Hierbij is de dikte van het brugdek verwaarloosd. Afhankelijk van de waarde van `p` is ook aan eis 1 voldaan.

a

Bepaal voor welke waarden van `p` ook aan eis 1 is voldaan.

Als aan eis 1 is voldaan, betekent dat nog niet dat is voldaan aan eis 5. Zo is bijvoorbeeld voor `p = 10,00` wel aan eis 1 voldaan, maar niet aan eis 5.

b

Bereken voor welke waarden van `p` ook aan eis 5 is voldaan.

verder | terug