Zie figuur.

`x^2 + 5x = x^2 + 2*2,5x = (x+2,5)^2 - 2,5^2 = (x+2,5)^2 - 6,25`

`(x-5)^2 - 25 = x^2 - 10x + 25 - 25 = x^2 - 10x`

`x^2 - 5x = x^2 + 2*text(-)2,5x = (x-2,5)^2 - 2,5^2 = (x-2,5)^2 - 6,25`

`f(x)=(x+6) ^2-36`

`g(x)= (x-4 ) ^2-1`

`h(x)=2 (x-3) ^2-30`

`k(x)=text(-) (x-2 ) ^2+7`

`m(x)=(x+2)^2-20`

`k(x)=3(x+3)^2-33`

`f(x)=x^2-6 x+1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-9 +1`
`f(x)=(x-3 ) ^2-8`

De top is `(3 , text(-)8 )` .

`x~~0,17 vv x~~5,83`

`x=(text(-)17+sqrt(829))/6vvx=(text(-)17-sqrt(829))/6`

Je vindt `x= (6 +sqrt(32 )) /2∨x= (6 -sqrt(32 )) /2` .
Ga na dat dit hetzelfde is als `x=3 +2sqrt(2) vv x=3 - 2sqrt(2)` .

`x=0 vv x=4`

`x_1=3/8+sqrt(137)/8 vv x_2=3/8-sqrt(137)/8`

`3(x+17/6)^2-289/12=45` geeft `(x + 17/6)^2 = 829/36` , dus `x = text(-)17/6 +- sqrt(829/36)` .

Dit kun je schrijven als `x = (text(-)17 - sqrt(829))/6 vv x = (text(-)17 + sqrt(829))/6` .

`ax^2+bx+c=0`

Delen door `a` levert op:

`x^2+b/ax+c/a=0`

Kwadraat afsplitsen levert op:

`(x+b/ (2 a) ) ^2- (b/ (2 a) ) ^2+c/a=0` en dan volgt

`(x+b/ (2 a) ) ^2= (b/ (2 a) ) ^2-c/a`

Kwadraat wegwerken en breuken gelijk maken:

`(x+b/ (2 a) ) ^2 =b^2/(4a^2)- (4ac)/(4a^2)`

Samennemen:

`(x+b/ (2 a) ) ^2= (b^2-4 ac) / (4 a^2)`

Vervolgens worteltrekken:

`x+b/ (2 a) =±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )`

Herleiden:

`x=text(-) b/ (2 a) ±sqrt( (b^2-4 ac) / (4 a^2) )= (text(-) b) / (2 a) ± (sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a) = (text(-) b±sqrt(b^2-4 ac)) / (2 a)`

`x=6 -sqrt(66 ) vv x=6 + sqrt(66 ) `

Met de abc-formule vind je `x= (12 ±sqrt(264 )) /2` . Ga na dat dit hetzelfde is als bij a.

abc-formule: `x= (1 -sqrt(13 )) /2 vv x = (1 + sqrt(13 )) /2`

`D =text(-)167 < 0` , dus geen oplossingen.

`x=2 ∨x=4`

`D=text(-)199 < 0` , dus geen oplossingen.

`x=8 ∨x=text(-)1`

`f(x)=2 (x-1,5 ) ^2-2,5`

Top: `(1,5 ; text(-)2,5 )`
Nulpunten: `x= 1,5 -sqrt(1,25 )~~0,38 vv x= 1,5 +sqrt(1,25 )~~2,62`

abc-formule: `a=2` , `b=text(-)6` en `c=2` .

`D=20`

ja

`x=(6-sqrt(20))/4=1,5-sqrt(1,25)~~0,38 vv x=(6+sqrt(20))/4=1,5+sqrt(1,25)~~2,62` ; ga na dat `sqrt(20)=sqrt(16)*text(-)sqrt(1,25)` .

Als je de nulpunten weet, dan weet je de `x` -coördinaten van de snijpunten van de grafiek van `f` met de `x` -as. Midden tussen deze snijpunten zit de symmetrieas `x=1,5` van de grafiek van `f` . Omdat de functiewaarde `f(1,5 )=text(-)2,5` vind je als top `(1,5; text(-)2,5)` .

Top: `(text(-)1 , 2 )`

Top: `(text(-)1/2, 2 3/4)`

`f(x)= (x+1/2k) ^2-1/4k^2+3`

`k=text(-)sqrt(8 )vv sqrt(8)`

Nulpunten: `x=text(-)1 vv x=5`

Top: `(2, text(-)9)`

`f(x)=text(-)4 x-5` is het voorschrift van een lineaire functie.

`p=text(-)0,8`

`f(x)=x^2+8 x-20 = (x+4) ^2-36`
Top: `(text(-)4 , text(-)36 )`

`(x+4) ^2-36 =0` geeft `x=text(-)10 ∨x=2`

`x=text(-)10 ∨x=2`

`x^2+8 x-20 `	`=`	`(x+10 )(x-2 )=0`
`x+10`	`=`	`0 vv x-2=0`
`x`	`=`	`text(-)10 vv x=2`

`x~~text(-)2,41 vv x~~5,41`

`x~~text(-)0,10 vv x~~text(-)29,90`

`x=0 ∨x=3`

`x=3`

`D=text(-)15` , geen oplossingen.

`x=4 ∨x=text(-)3`

`x~~3,46vvx~~text(-)3,46`

`D=text(-)59` , geen oplossingen.

`x~~7,75vvx~~text(-)7,75`

`k=text(-)1`

`k=0`

`k=sqrt(20)vvk=text(-)sqrt(20)`

`k=2vvk=text(-)2`

Snijpunt `y` -as: `f(0) = 90` , dus `(0, 90)` .
Snijpunten `x` -as: `f(x) = text(-)0,5x^2 + x + 90 = 0` geeft `x^2 - 2x - 180 = 0` en dus `x = (2 +- sqrt(720))/2` . Dus `(text(-)12,42; 0)` en `(14,42; 0)` .

Symmetrieas `x = 2/2 = 1` , dus top `(1; 90,5)` .

De grafiek is een bergparabool, dus `f(1) = 90,5` is een maximum.

Nulpunten: `x=text(-)2 vv x=text(-)1`
Top: `(text(-)1 1/2, text(-)1/2)`

`p=text(-)sqrt(4,5) vv p=0 vv p=sqrt(4,5)`

nul keer

twee keer

`p=1,5-1/16sqrt(2144) ~~ text(-)1,39 vv p=1,5+1/16sqrt(2144) ~~ 4,39`

Er is ook één snijpunt als `p=0` .

`y = x - 4,9 (x^2)/50 = x - 0,098x^2`

`x - 0,098x^2 = 0` kun je oplossen met ontbinden in factoren, kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Ontbinden is het handigst. Je vindt `x = 0 vv x ~~ 10,20` .

Na `10,20` m komt de kogel weer op de grond.

Functie: `y = text(-)0,098x^2 + x + 1,8` .

`text(-)0,098x^2 + x + 1,8 = 0` kun je oplossen met kwadraat afsplitsen, of de abc-formule.
Met de abc-formule: `x ~~ text(-)1,56 vv x ~~ 11,77` .

Na `11,77` m komt de kogel weer op de grond.

`x=text(-)3 ∨x=5` .

Geen oplossing.

`x=3vvx=text(-)3`

`x~~text(-)0,81 vv x~~2,47`

`p=0`

`(1 1/2; text(-)2 1/4)`

`x~~text(-)0,85vvx~~2,35`

`p =text(-)1 1/8`