Kwadratische functies > Kwadratische modellenVoorbeeld 2
Een parabool gaat door de punten `(1 , 2 )` , `(4 , 6 )` en `(7, 0)` .
Welk functievoorschrift hoort er bij deze parabool? Bepaal het bereik van de bijbehorende functie als het domein `[0, 7]` is.
In het algemeen heeft een parabool een bijpassend functievoorschrift van de vorm `y = a (x-p)^2 + q` , of van de vorm `y = ax^2 + bx + c` . Als de top bekend is, is de eerste vorm het handigst. Nu kun je ook de tweede vorm gebruiken.
Je vult elk van de drie gegeven punt in `y = ax^2 + bx + c` in:
-
punt `(1, 2)` geeft: `2 = a + b + c`
-
punt `(4, 6)` geeft: `6 = 16a + 4b + c`
-
punt `(7, 0)` geeft: `0 = 49a + 7b + c`
Je krijgt drie vergelijkingen met drie onbekenden. Maar door eerst de bovenste twee van elkaar af te trekken en vervolgens de onderste twee, kun je de `c` elimineren:
-
`15a + 3b = 4`
-
`33a + 3b = text(-)6`
En dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden kun je oplossen.
Je vindt:
`a = text(-)5/9`
en
`b = 37/9`
.
En hiermee kun je dan ook weer
`c`
berekenen:
`c = text(-)14/9`
.
In twee decimalen nauwkeurig krijg je het functievoorschrift `f(x) ~~ text(-)0,56x^2 + 4,11x - 1,56` .
Om het bereik te bepalen bij een domein van `[0, 7]` moet je de functiewaarden `f(0)` en `f(7)` berekenen, maar ook de (in dit geval) maximale functiewaarde. Je vindt als bereik `[text(-)1 5/9; 6,05]` .
Bestudeer
Stel zelf de drie vergelijkingen met drie onbekenden op die uit de gegevens volgen.
Los dit stelsel vergelijkingen op.
Gebruik de applet.
Welk probleem ontstaat er door het geven van een antwoord in twee decimalen nauwkeurig?
Hoe zou je dit kunnen oplossen?
Welk probleem ontstaat als je de algemene vorm `y = a(x - p)^2 + q` gebruikt om de formule bij de parabool te vinden?
Bereken de functiewaarden `f(0)` en `f(7)` en bereken het maximum van `f` . Bepaal het bereik bij het domein `[0, 7]` .
Je kunt in de applet de punten verplaatsen en zo oefenen met het opstellen van een formule bij een parabool door drie gegeven punten.
Doe dit, bijvoorbeeld samen met een medestudent.
Neem nu de punten `(0, 1)` , `(10 , 3)` en `(25, 0)` .
Stel een formule op bij de parabool door die drie punten.
Bereken de coördinaten van de top van deze parabool.