Exponenten en machten

Exponenten en machten > Exponentiële groei

12345Exponentiële groei

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Na elk kwartier lekt er $15$ % weg, dus blijft er $85$ % over van wat er in zat.
$85$ % $=0,85 rarr$ na $1$ kwartier zit er nog $0,85*12$ liter in de emmer, na 2 kwartier $0,85*0,85*12$ , na 3 kwartier $0,85*0,85*0,85*12$ en na $4$ kwartier $0,85*0,85*0,85*0,85*12~~6,26$ liter.

Uitgaande van het antwoord bij a: na $5$ kwartier zit er nog $0,85*6,26~~5,31$ liter, na $6$ kwartier $0,85*5,31~~4,51$ liter en na $7$ kwartier $0,85*4,51~~3,83$ liter.

Zie bijgaande figuur: $0,85xx0,85xx0,85xx0,85$ schrijf je als $(0,85)^4$ .

Opgave 1

Het getal waarmee de hoeveelheid bacteriën elk uur wordt vermenigvuldigd.

$100$ %

Na $12$ uur heb je: $6*2^12=24576$ milligram bacteriën.

Opgave 2

$150/50=450/150=1350/450=4050/1350=12150/4050=36450/12150=3$
De hoeveelheid bacteriën wordt elk uur $3$ keer zo groot.
Omdat je de hoeveelheid bacteriën elk uur met hetzelfde getal vermenigvuldigt, is er sprake van exponentiële groei.

$3$

$3^2=9$

Drie uur later dus $36450*3*3*3=984150$ milligram bacteriën.

Opgave 3

$0,5$

$0,5^7~~0,008$ .

$0,5^4=0,0625$ en $1-0,0625=0,9375$ .
De hoeveelheid neemt elke vier dagen met $93,75$ % af.

Opgave 4

$2^18$

$3^8$

$5^5$

$6^18$

Opgave 5

Ja, dat kan.
$2^5+2^5=2*2^5=2^6$

Nee, dit kun je niet als één macht schrijven.

Opgave 6

$0$

De uitkomst zou hier $0$ of $1$ kunnen zijn. Beide uitkomsten zijn te verdedigen.

Opgave 7

De groeifactor is $1,1$ .

De groeifactor is $2$ .

De groeifactor is $1,002$ .

De groeifactor is $0$ .

De groeifactor is $0,999$ .

De groeifactor is $0,6$ .

Opgave 8

$1,06$

$800 *1,06^5≈1070,58$ euro.

$S(t)=800 *1,06^t$

$1,06^5 = 1,34$ is de groeifactor per vijf jaar.

Groeifactor van $1,34$ staat gelijk aan groeipercentage van 34%.

Je vindt telkens ongeveer € 2565,71.

Opgave 9

$941/970~~0,97$ , $913/941~~0,97$ , $885/913~~0,97$ , $859/885~~0,97$ en $833/859~~0,97$

$A(t)=784 *0,97^t$

In 2031 is $t=14$ , als je van $t=0$ in 2017 uitgaat. $A(14)~~512$ .

In 2032 is $t=15$ als je van $t=0$ in 2017 uitgaat. $A(15)≈496$ .

Het aantal abonnees komt in 2032 voor het eerst onder de $500000$ .

Opgave 10

procentuele toename per jaar	$13$	$text(-)6$	$0,3$	$15$	$text(-)2$	$295$	$text(-)99$
groeifactor per jaar	$1,13$	$0,94$	$1,003$	$1,15$	$0,98$	$3,95$	$0,01$

Opgave 11

$3^83* (3^40) ^2=3^83*3^80=3^(83+80)=3^163$

$(2^214*2^80) /((2^12)^24)=(2^294)/(2^288)=2^6=64$

$((4^3)^2 * 64^4)/(16^2) = (4^6 * (4^3)^4)/(4^2)^2= (4^6 *4^12)/(4^4)= (4^(6+12))/4^4= 4^18/4^4=4^(18-4)=4^14$

$(1296^2*7776^3)/36 = ((6^4)^2* (6^5)^3)/(6^2) =(6^8 * 6^15)/6^2=6^(8+15)/6^2=6^23/6^2=6^(23-2)=6^21$

Opgave 12

$R(t)=2 *3^t$

$t$	0	1	2	3	4	5
$R(t)$	2	6	18	54	162	486

Er moet gelden $R(t) gt 1000$ .

$R(5)=486$ (1 januari 2019) en $R(6)=1458$ (1 januari 2020).

In het jaar 2019 is het hele meer voor het eerst helemaal begroeid met riet.

Opgave 13

$N(t)=5000 *0,96^t$

$N(10)=5000*0,96^10~~3324$
Er zijn dan $3324$ herten in het natuurgebied.

$0,96^10≈0,6648$ en $0,6648-1=text(-)0,3352$ .
Dit betekent een groeipercentage van ongeveer $text(-)33,5$ %.

$N(16)~~2602$ ; $N(17 )≈2498$ ; dus op 1 januari 2031 zijn er $2498$ herten en op 1 januari 2030 zijn er $2602$ herten.
In de loop van het jaar 2030 is het aantal herten gehalveerd.

Opgave 14

$1*1,14^3~~1,48$ cm.

Dus de paddenstoel heeft dan een hoogte van ongeveer $15$ mm.

$1,14^3~~1,482$ .

$1,14^7~~2,50$ cm.

Dit is een toename van ongeveer $150$ %.

De paddenstoel kan maximaal $12$ cm hoog worden.

Maak een tabel met stapgrootte $1$ .

Bij $t=18$ is de hoogte ongeveer $10,6$ cm.

Bij $t=19$ is de hoogte ongeveer $12,1$ cm.

Dus de paddenstoel kan $18$ hele uren groeien.

Opgave 15

Als je telkens twee opeenvolgende kapitalen deelt, dan vind je elke keer ongeveer $1,04$ .

Ongeveer $4$ % per jaar.

tijd (jaar)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
kapitaal (euro)	10000,00	10800,00	11664,00	12597,12	13604,89	14693,28	15868,74	17138,24	18509,30	19990,05	21589,25

Bij € 20000,00 is het kapitaal verdubbeld.
Na negen jaar is het kapitaal: € 19990,05.
Na tien jaar is het kapitaal: € 21589,25 en is het dus verdubbeld.

$10000*1,14^5~~ 19254,12$ . Na vijf jaar is het kapitaal € $19254,15$ .

$10000*1,14^5*1,04^5~~ 23425,61$ euro.
Na tien jaar is het kapitaal € $23425,61$ .

$10000*1,14^5*1,04^5=10000*1,04^5*1,14^5$ ; dus dit maakt geen verschil.

Opgave 16

$(( 2^30 ) ^12 * 2^60)/(2^343 * 2^77) = (2^360 * 2^60) /(2^343 * 2^77) = (2^420)/(2^420)=1$

$(( 3^16 ) ^10)/ (3^10 * (3^3)^24) = ( 3^160)/ (3^10 * 3^72) = (3^160)/(3^82) = 3^78$

$3^214/3^211*81^25=3^3*(3^4)^25=3^3*3^100=3^103$

$(49^8)^10/(7^100*343^20)=7^160/(7^100*7^60)=7^160/7^160=7^0=1$

Opgave 17

$N_text(A)=250000*1,025^t$

$N_(text(B)) = 310000 +5000t$

$(N_text(B)(2))/(N_text(A)(2)) = 320000/(250000*1,025^2)~~1,22$
Stad B heeft op 1 januari 2012 ongeveer $22$ % meer inwoners.

Met een tabel: in het jaar 2030.

Opgave A1Afkoelingsprocessen

Afkoelingsprocessen

De grafiek gaat minder steil dalen.

Eerste $5$ minuten: $t=0 rarr t=1$ dan $T=60 rarr T=48$ °C dus $ΔT=12$ °C.
Tweede $5$ minuten: $t=1 rarr t=2$ dan $T=48 rarr T=38,4$ °C dus $ΔT=9,6$ °C.

De eindtemperatuur kan niet lager worden dan de kamertemperatuur en $ΔT$ zal afhankelijk zijn van het verschil in temperatuur van de thee en de kamer.

De horizontale grenslijn is $T=20$ .

Opgave A2Verandering vloeistofhoogte

Verandering vloeistofhoogte

Bijvoorbeeld $H(t)=60*(2/3)^t$ , het vat stroomt minder snel leeg.

$0,7 gt 0,5$ , de groeifactor is groter. (Groeifactor dichter bij $1$ betekent minder snelle verandering).

Zie figuur.

$4 lt t lt 5$ geeft $(60)/(16) gt H gt (60)/(32) rArr 3,8 gt H gt 2$ .

Er geldt dan: $60*(0,5)^t=3$ .

$t=4$ : $60*(0,5)^4=3,75$ ,
$t=4,5$ : $60*(0,5)^(4,5)=2,6$ ,
$t=4,3$ : $60*(0,5)^(4,3)~~3,0$ .

Opgave T1

$H(t)=950 *1,04^t$

jaar	0	1	2	3	4	5	6	7	8
huur	950,00	988,00	1027,52	1068,62	1111,37	1155,82	1202,05	1250,14	1300,14

Na $8$ jaar wordt de huur hoger dan € 1300,00.

$1,17$

$(1,16985...)^5~~2,19$

Ongeveer $119,1$ %.

Na $18$ jaar.

Opgave T2

$17$

Opgave T3

$W(t)=5000 *0,88^t$ .

Na $13$ jaar.

Het groeipercentage per $5$ jaar is ongeveer $text(-)47,2$ %.

Met $0,88^5$ . Je vindt ongeveer € 1392,50.

Ongeveer $text(-)72,1$ %.

verder | terug