Exponenten en machten > Exponentiële groei
12345Exponentiële groei

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`2^20=1048576` lagen.

b

De oppervlakte wordt al snel te klein om nog te kunnen vouwen en het wordt te dik.

c

`0,15xx2^20=157286,4` mm dik, dat is meer dan `157` m!

d

Noem de papierdikte `d` , dan is `d*2^20=5` .
Dit geeft `text(dikte) =5/2^20~~4,8*10^(text(-)6)` cm, dat is ongeveer `0,00005` mm.

Opgave 1
a

Het getal waarmee de hoeveelheid bacteriën elk uur wordt vermenigvuldigd.

b

`100` %

c

Na `12` uur heb je: `6*2^12=24576` milligram bacteriën.

Opgave 2
a

`150/50=450/150=1350/450=4050/1350=12150/4050=36450/12150=3`
De hoeveelheid bacteriën wordt elk uur `3` keer zo groot.
Omdat je de hoeveelheid bacteriën elk uur met hetzelfde getal vermenigvuldigt, is er sprake van exponentiële groei.

b

`3`

c

`3^2=9`

d

Drie uur later dus `36450*3*3*3=984150` milligram bacteriën.

Opgave 3
a

`0,5`

b

`0,5^7~~0,008` .

c

`0,5^4=0,0625` en `1-0,0625=0,9375` .
De hoeveelheid neemt elke vier dagen met `93,75` % af.

Opgave 4
a

`2^18`

b

`3^8`

c

`5^5`

d

`6^18`

Opgave 5
a

Ja, dat kan. 
`2^5+2^5=2*2^5=2^6`

b

Nee,  dit kun je niet als één macht schrijven.

Opgave 6
a

`0`

b

De uitkomst zou hier `0` of `1` kunnen zijn. Beide uitkomsten zijn te verdedigen.

Opgave 7
a

De groeifactor is `1,1` .

b

De groeifactor is `2` .

c

De groeifactor is `1,002` .

d

De groeifactor is `0` .

e

De groeifactor is `0,999` .

f

De groeifactor is `0,6` .

Opgave 8
a

`1,06`

b

`800 *1,06^5≈1070,58` euro.

c

`S(t)=800 *1,06^t`

d

`1,06^5 = 1,34` is de groeifactor per vijf jaar.

Groeifactor van `1,34` staat gelijk aan groeipercentage van 34%.

e

Je vindt telkens ongeveer € 2565,71.

Opgave 9
a

`941/970~~0,97` , `913/941~~0,97` , `885/913~~0,97` , `859/885~~0,97` en `833/859~~0,97`

b

`A(t)=784 *0,97^t`

c

In 2031 is `t=14` , als je van `t=0` in 2017 uitgaat. `A(14)~~512` .

In 2032 is `t=15` als je van `t=0` in 2017 uitgaat. `A(15)≈496` .

Het aantal abonnees komt in 2032 voor het eerst onder de `500000` .

Opgave 10
procentuele toename per jaar `13` `text(-)6` `0,3` `15` `text(-)2` `295` `text(-)99`
groeifactor per jaar `1,13` `0,94` `1,003` `1,15` `0,98` `3,95` `0,01`
Opgave 11
a

`3^83* (3^40) ^2=3^83*3^80=3^(83+80)=3^163`

b

`(2^214*2^80) /((2^12)^24)=(2^294)/(2^288)=2^6=64`

c

`((4^3)^2 * 64^4)/(16^2) = (4^6 * (4^3)^4)/(4^2)^2= (4^6 *4^12)/(4^4)= (4^(6+12))/4^4= 4^18/4^4=4^(18-4)=4^14`

d

`(1296^2*7776^3)/36 = ((6^4)^2* (6^5)^3)/(6^2) =(6^8 * 6^15)/6^2=6^(8+15)/6^2=6^23/6^2=6^(23-2)=6^21`

Opgave 12
a

`R(t)=2 *3^t`

b
`t` 0 1 2 3 4 5
`R(t)` 2 6 18 54 162 486
c

Er moet gelden `R(t) gt 1000` .

`R(5)=486` (1 januari 2019) en  `R(6)=1458` (1 januari 2020).

In het jaar 2019 is het hele meer voor het eerst helemaal begroeid met riet.

Opgave 13
a

`N(t)=5000 *0,96^t`

b

`N(10)=5000*0,96^10~~3324`  
Er zijn dan `3324` herten in het natuurgebied.

c

`0,96^10≈0,6648` en `0,6648-1=text(-)0,3352` .
Dit betekent een groeipercentage van ongeveer `text(-)33,5` %.

d

`N(16)~~2602` ; `N(17 )≈2498` ; dus op 1 januari 2031 zijn er `2498` herten en op 1 januari 2030 zijn er `2602` herten.
In de loop van het jaar 2030 is het aantal herten gehalveerd.

Opgave 14
a

`1*1,14^3~~1,48` cm.

Dus de paddenstoel heeft dan een hoogte van ongeveer `15` mm.

b

`1,14^3~~1,482` .

c

`1,14^7~~2,50` cm.

Dit is een toename van ongeveer `150` %.

d

De paddenstoel kan maximaal `12` cm hoog worden.

Maak een tabel met stapgrootte `1` .

Bij `t=18` is de hoogte ongeveer `10,6` cm.

Bij `t=19` is de hoogte ongeveer `12,1` cm.

Dus de paddenstoel kan `18` hele uren groeien.

Opgave 15
a

Als je telkens twee opeenvolgende kapitalen deelt, dan vind je elke keer ongeveer `1,04` .

b

Ongeveer `4` % per jaar.

c
tijd (jaar) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
kapitaal (euro) 10000,00 10800,00 11664,00 12597,12 13604,89 14693,28 15868,74 17138,24 18509,30 19990,05 21589,25
d

Bij € 20000,00 is het kapitaal verdubbeld.
Na negen jaar is het kapitaal: € 19990,05.
Na tien jaar is het kapitaal: € 21589,25 en is het dus verdubbeld.

e

`10000*1,14^5~~ 19254,12` . Na vijf jaar is het kapitaal €  `19254,15` .

`10000*1,14^5*1,04^5~~ 23425,61` euro.
Na tien jaar is het kapitaal €  `23425,61` .

f

`10000*1,14^5*1,04^5=10000*1,04^5*1,14^5` ; dus dit maakt geen verschil.

Opgave 16
a

`(( 2^30 ) ^12 * 2^60)/(2^343 * 2^77) = (2^360 * 2^60) /(2^343 * 2^77) = (2^420)/(2^420)=1`

b

`(( 3^16 ) ^10)/ (3^10 * (3^3)^24) = ( 3^160)/ (3^10 * 3^72) = (3^160)/(3^82) = 3^78`

c

`3^214/3^211*81^25=3^3*(3^4)^25=3^3*3^100=3^103`

d

`(49^8)^10/(7^100*343^20)=7^160/(7^100*7^60)=7^160/7^160=7^0=1`

Opgave 17
a

`N_text(A)=250000*1,025^t`

b

`N_(text(B)) = 310000 +5000t`

c

`(N_text(B)(2))/(N_text(A)(2)) = 320000/(250000*1,025^2)~~1,22`  
Stad B heeft op 1 januari 2012 ongeveer `22` % meer inwoners.

d

Met een tabel: in het jaar 2030.

Opgave A1
a

`1,021`

b

`3,6*1,021^10 ~~ 4,4` mld.

c

1971: `3,68` mld; 1988: `5,23` mld; 1900: `0,84` mld; 0: `5,96 *10^text(-)9` mld, hetgeen nogal ongeloofwaardig is. De aanname, dat de groeifactor constant is, is dus onjuist.

d

`B=3,6 *1,021^t` mld.

e

`B(80 )≈18,98` mld. Dus de `9` mld volgens het Wereldbevolkingsrapport uit 1999 zit daar ver onder.

f

Uit het voorgaande resultaat volgt dat de groei van de wereldbevolking zal afremmen. En dat moet ook wel want onze planeet heeft te weinig grondstoffen om een exponentieel groeiend aantal mensen op den duur van voedsel en woonruimte te voorzien. In de grafiek lijkt dit ook al een beetje zichtbaar te zijn.

Opgave A2
a

Zoek gegevens, probeer groeimodellen op te stellen en een conclusie te trekken.

b

Er passen zo'n `12` mensen op een vierkante meter.
Zoek op hoeveel m2 de provincie Utrecht telt en reken na...

Opgave T1
a

`H(t)=950 *1,04^t`

b
jaar 0 1 2 3 4 5 6 7 8
huur 950,00 988,00 1027,52 1068,62 1111,37 1155,82 1202,05 1250,14 1300,14

Na `8` jaar wordt de huur hoger dan € 1300,00.

c

`1,17`

d

`(1,16985...)^5~~2,19`

e

Ongeveer `119,1` %.

f

Na `18` jaar.

Opgave T2

`17`

Opgave T3
a

`W(t)=5000 *0,88^t` .

b

Na `13` jaar.

c

Het groeipercentage per `5` jaar is ongeveer `text(-)47,2` %.

d

Met `0,88^5` . Je vindt ongeveer € 1392,50.

e

Ongeveer `text(-)72,1` %.

verder | terug