Exponenten en machten > Rekenregels voor machten
12345Rekenregels voor machten

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Om 11:00 waren er `300` .

b

Om 10:00 waren er `150` bacteriën.

c

Per uur terug deel je door de groeifactor `2` , ofwel je vermenigvuldigt met `1/2` .

d

Dat kan door bijvoorbeeld de groeifactor per kwartier te gebruiken.

Opgave 1
a

`t=text(-)4`

b

`600 *2^(text(-)4)=600 *1/2*1/2*1/2*1/2=37,5` , dus `37` of `38` bacteriën.

Opgave 2
tijd (h) `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
hoeveelheid bacteriën ` 62` `125` `250` `500` `1000` `2000` `4000`
Opgave 3
a

`t=2 1/2`

b

`600 *2^ (2 1/2) =600 *2 *2 *sqrt(2 ) ≈ 3394` .

Opgave 4
a

`2^3=8`

b

`2^4=16`

c

`2^5=32`

d

`2^ (1/2)=sqrt(2) ≈1,41`

e

`2^ (1/4) ≈1,19`

f

Na 5 uur: `B(5) = 600*2^5 = 19200`

Na 5,5 uur: `B(5,5) = 600*2^(5,5) ~~ 27200`

Na 5,75 uur: `B(5,75) =600*2^(5,75) ~~ 32300`

g

`600*2^(5,75)=600*2^5*2^(1/2)*2^(1/4)~~32300`   bacteriën.

Opgave 5
a

In 1600: `1000 *1,102^(text(-)10)≈379` miljoen mensen
In 2000: `1000 *1,102^10≈2641` miljoen mensen

Er zijn verschillen, dat komt door het afronden.

b

Groeifactor per twintig jaar is gelijk aan `1,102` . 
Dus per vijf jaar is de groeifactor `1,102^(1/4)~~1,025` .

In 1600: `1000 *1,025^(text(-)40)≈372` miljoen mensen

In 2000: `1000 *1,025^40≈2685` miljoen mensen

c

In 2008: `1000 *1,005^208≈2822` miljoen mensen

d

Maak een tabel in een spreadsheet, of gebruik een grafische rekenmachine.
Je vindt ongeveer `139` jaar later, dus in 2039.

Opgave 6
a

De halveringstijd is `5736` jaar. Dus er moet gelden `g^5736=0,5` .
Dus `g = 0,5^(1/5736) ~~ 0,999879` . Per `100` jaar vind je dan `0,999879^100=0,987972` .
De groeifactor per eeuw is afgerond op drie decimalen `0,988` .

b

`0,988^t = 38/100 = 0,38` geeft `t = /^(0,988)log(0,38) ~~ 8015` jaar oud.

Opgave 7
a

Twee keer gehalveerd, dus `2*30=60`

b

Groeifactor per jaar is `0,5^(1/30)~~0,9772` .
Je moet de vergelijking `(0,5^(1/30))^t=0,11` oplossen. 
Met de GR vind je `t~~95,5` . Dus na ongeveer `96` jaar.

Opgave 8
a

`2x^(2 1/3)=2x^2*x^(1/3)=2x^2*root(3)(x)`

b

`(3 x^(text(-)1))/(2x)=(3/x)/(2x)=3/x*1/(2x)=3/(2x²)`

c

`4 x^ ((text(-)3/4))=4/(x^(3/4))=4/(root(4)(x^3))`

d

`2 x^ (1/2)=2sqrt(x)`

Opgave 9
a

`(3^(text(-)12)) ^ (1/4)=3^(text(-)3)=1/(3^3)=1/27`

b

`(2^2) ^(text(-)3)* (2^(text(-)2)) ^(text(-)4)=2^(text(-)6)*2^8=2^2=4`

c

`(2^ (1/2)) ^10=2^5=32`

d

`125^(1/5)*5^4*5^(text(-)10) = (5^3)^(1/5)*5^4*5^(text(-)10) = 5^(3/5 + 4 + text(-) 10) = 5^(text(-)5 2/5)`

Opgave 10
a

`3/2x^(text(-)1)`

b

`3/ (4 xsqrt(x))=3/(4x^(1 1/2))=3/4x^(text(-)1 1/2)`

c

`(4 root[3] (x)) ^2=(4x^(1/3))^2=16x^(2/3)`

d

`2 xsqrt(x)=2x^1*x^(1/2)=2x^(1 1/2)`

e

`2/ (x^3*root[3] (x^2))=2/(x^3*x^(2/3))=2/(x^(3 2/3))=2x^(text(-)3 2/3)`

f

`3 x^5* (2 x^3) ^2=3x^5*2^2*x^6=12x^11`

Opgave 11
a

`3^(text(-)2) * 3^5 * 3 = (3^5 * 3) / (3^2) = 3^4 = 81`

b

`4^(1/2) * 4^3 * 4^(text(-)4) = 4^(3 1/2)* 4^(text(-)4) = 4^(text(-)1/2) = 1/sqrt(4) = 1/2`

c

`(5^2)^(1/3) = root[3](25)`

d

`1000^(1/3)=(10^3) ^ (1/3) =10^1=10`

e

`2^(text(-)2)*4^(text(-)1)= 1/(2^2)* 1/4= 1/4*1/4=1/16`

f

`(3^2)^(text(-)1) = 3^(text(-)2)=1/(3^2)=1/9`

Opgave 12
a

`A(10 )=25000 *1,1^10≈64844` inwoners.

b

`A(10 7/12)=25000*1,1^(10 7/12)=25000*1,1^(127/12)≈68551` inwoners.

c

`1,1`

d

`1,1^ (1/12) ≈1,008` dus ongeveer `0,8` % per maand.

e

`A(text(-)5 )≈15523`
`A(text(-)10 )≈9639`

Opgave 13

`(1/2) ^t*6 A=A` en dit geeft `(1/2)^t=1/6` .

Deze vergelijking los je op met een tabel, de GR, of een logaritme: `t~~2,58` .

Het hooi moet `2,58 * 8 ~~ 21` dagen bewaard blijven.

Opgave 14
a

`1/x`

b

`1/ (sqrt(x))`

c

`root[4] (x^3)`

d

`x^ (1 3/4)=x^1*x^(3/4)= xroot[4] (x^3)`

e

`3 x^(text(-)1,5)=3/(x^(1,5))=3/ (xsqrt(x))`

f

`1/2x^(text(-)2,75)=1/(2x^(2,75))=1/(2x^2*x^(3/4))=1/ (2 x^2root[4] (x^3))`

Opgave 15
a

`2/ (sqrt(x))=2/(x^(1/2))=2x^(text(-)1/2)`

b

`1/ (x^2sqrt(x))=1/(x^(2 1/2))=x^(text(-)2 1/2)`

c

`1/ (3 *root[4] (x))=1/(3*x^(1/4))=1/3x^(text(-)1/4)`

d

`1/2x^ (1/2)`

e

`1/ (2 x*sqrt(x))=1/(2x^(1,5))=1/2x^(text(-)1 1/2)`

f

`(3 x*sqrt(x)) ^3=(3x*x^(1/2))^3=3^3*x^3*x^(1 1/2)=27x^(4 1/2)`

Opgave 16
a

`g^30=2` , dus `g=root30(2)~~1,0234` .

b

`45000*1,03^t=90000` geeft `1,03^t=2` en (tabel, GR, log) `t=23,45` .

c

Árborg: `B_2=45000*1,03^t`

Eyrarbakki: `B_3=55000*1,0234^t`

d

`45000*0,75=33750` dus de nieuwe formule wordt `B_2=33750*1,03^t` .

`33750*1,03^t=45000` geeft ongeveer `9,7` jaar. In het jaar 2029.

e

`B_2=33750*1,03^130=1574392`

`B_3=55000*1,0234^130=1112414`

Árborg  heeft dan de meeste inwoners.

Opgave A1
a

1500-1750: groeifactor per jaar ongeveer `1,00115` , dus groeipercentage ongeveer `0,12` % per jaar.

1750-1800: groeifactor per jaar ongeveer `1,00814` , dus groeipercentage ongeveer `0,81` % per jaar.

1986-1997: groeifactor per jaar ongeveer `1,01735` , dus groeipercentage ongeveer `1,74` % per jaar.

b

In vier periodes:
periode 0-1500;
periode 1500-1800;
periode 1800-1950;
periode 1950-1986.

c

0-1500: groeifactor per jaar `2^(1/1500)` is ongeveer `1,00046` , dus groeipercentage ongeveer `0,05` % per jaar.

1500-1800: groeifactor per jaar `2^(1/300)` is ongeveer `1,002313` , dus groeipercentage ongeveer `0,23` % per jaar.

1800-1950: groeifactor per jaar `2^(1/150)` is ongeveer `1,00463` , dus groeipercentage ongeveer `0,46` % per jaar.

1950-1986: groeifactor per jaar `2^(1/36)` is ongeveer `1,01944` , dus groeipercentage ongeveer `1,94` % per jaar.

Opgave T1
a

`A(t)=10 *1,15^t`

b

`6,6` gram per liter.

c

Ongeveer `9,6` gram per liter.

d

`35` dagen.

Opgave T2
a

`1/3` .

b

`32` .

c

`16` .

d

`1/3` .

Opgave T3
a

`12 x^11` .

b

`3 x^(text(-)1)` .

c

`4 x^ (1 1/2)` .

verder | terug