Alleen het punt `(0, 6)` .
Nee.
Ja, de `x` -as.
Mits `g != 0` geldt het volgende: De `x` -as is een asymptoot, er zijn geen extremen en de grafiek van `f` snijdt de `y` -as in het punt `(0, b)` .
`f(x)=2^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.
`f(x)=1^x` ; geen nulpunten; geen asymptoot, omdat `1^x=1` voor elke `x` .
`f(x)=0,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is afnemend dalend.
`f(x)=2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.
`f(x)=text(-)2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend dalend.
Er geldt:
Als `g gt 1` is de grafiek voortdurend toenemend dalend.
Als `g=1` is de grafiek constant.
Als `0 lt g lt 1` is de grafiek voortdurend afnemend stijgend.
Er zijn geen nulpunten, de `x` -as is een horizontale asymptoot.
Er zijn geen extremen.
`f_1 (x)=3 *2^x+1` , ontstaat door eerst te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en daarna te verschuiven met `1` in de `y` -richting.
`f_2 (x)=3 * (1/2) ^x-1` ; de grafiek van de functie ontstaat uit de grafiek van `y= (1/2) ^x` door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en door de translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.
`f_3 (x)=text(-)10 *1,5^x+100` ontstaat door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `text(-)10` en te verschuiven met `100` in de `y` -richting.
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5 , 8 ]xx[text(-)10 , 150 ]`
`f(x)=3 * (1/4) ^x-12`
De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y= (1/4) ^x` door eerst te vermenigvuldigen met `3` ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `text(-)12` ten opzichte van de `x` -as toe te passen.
Dit kan met een grafische rekenmachine of met GeoGebra. Je vindt: `(text(-)1, 0)` .
`3 * (1/4) ^x-12 ` | `=` | ` 0` | |
`(1/4)^x ` | `=` | ` 4` | |
`4^(text(-)x)` | `=` | `4^1` | |
`x ` | `=` | ` text(-)1` |
De groeifactor van B is groter dan die van A.
Voer in (GeoGebra of de GR):
`y=750*1.025^x`
en
`y=620*1.031^x`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 50] xx [0, 2500]`
.
Voor het snijpunt geldt
`x=32,6138...`
.
`B(8)~~791,518` , dus op 1 januari 2021 had stad C `791518` inwoners. Op 1 januari 2013 hadden ze `791518*1,083^(text(-)8)~~418247` inwoners.
Noem `C` het aantal inwoners in duizendtallen van stad C, dan is `C(t)=418,247*1,083^t` , met `t=0` op 1 januari 2013.
Voer in: `y=750*1.025^x` en `y=418.247*1.083^x` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx [0, 1500]` .
De grafieken snijden elkaar bij `x~~10,6` .
Dus in het jaar 2023 zijn de steden even groot.
Als er dagelijks `20` % minder is, blijft er `80` % over. Dus de groeifactor is `0,8` .
Voer in (GeoGebra of de GR):
`y=40*0.8^x`
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 50] xx [0, 40]`
.
Voer in:
`y=1`
en bepaal het snijpunt van beide grafieken.
`t gt 16,53`
`g_4=350/200=1,75` , dus `g =1,75^(1/4)~~1,15`
`f(x)=b*1,15^x`
`f(10)=b*1,15^10=200` , dit geeft `b~~49` .
Dus: `f(x)~~49*1,15^x`
Verschuiving van `text(-)1` in de `x` -richting, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting en ten slotte verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.
`f(x)=2 *2^x*2 -1` ⇒ `f(x)=4 *2^x-1`
Met `4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en dan verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.
`(0, 3)`
`2 *2^ (x+1) -1 = 0` geeft `2^(x+1) = 1/2 = 2^(text(-)1)` , zodat `x = text(-)2` .
Grafiek: `x gt text(-)2` .
`4 *3^x+6 =330` geeft `3^x = 81 = 3^4` en dus `x=4` .
`sqrt(2 )* (1/3)^(x+1) =27 sqrt(6 )`
geeft
`(3^(text(-)1))^(x+1) = 27sqrt(3) = 3^(3,5)`
.
Dit geeft
`3^(text(-)x-1) = 3^(3,5)`
en
`text(-)x-1 = 3,5`
zodat
`x=text(-)4,5`
De vergelijking wordt: `(1/3) ^x=1/4` en dat levert `x~~1,2619` op.
Grafiek: `x le 1,26` .
`f(3)=3281,25`
`f(text(-)5)=2,1504`
`y=0`
Voer in:
`y=210*2.5^x`
en
`y=1200`
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 5]xx[0, 1500]`
..
Snijpunt bij `x~~1,90` .
Los op `f(x) = 2345` en gebruik de grafiek: `x le 2,63`
Groeifactor per vier maanden:
`1630/2000=0,815`
.
Groeifactor per jaar:
`g=0,815^3≈0,541`
.
Een jaar voor 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541^(text(-)1)≈3695` Bq.
`g_(4\ text(maanden))=1630/2000=0,815`
`g_(text(jaar))=0,815^3≈0,541`
`2,5` jaar na 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541... ^(2,5)≈431` Bq.
`S(t)=2000 *0,541^t`
`text(B)_S=langle 0 ,931231 ]`
`2000*0,541^t = 1000`
geeft
`t~~ 1,13`
.
Dus na een jaar en iets meer dan een maand.
De
straling is gehalveerd in februari 2015.
Bij `x=1` heeft `f` de waarde `20` , dus de groeifactor is `20/10=2` . Hieruit volgt dat `f(x)=10 *2^x` .
Bij `x=text(-)1` heeft `g` de waarde `30` , dus de groeifactor is `10/30=1/3` . Hieruit volgt dat `g(x)=10 * (1/3)^x` .
Eerst met `5` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna een translatie van `text(-)60` in de `y` -richting.
`f(x)=5*2^x-60=0` geeft `2^x = 12` en (GeoGebra, of GR, of logaritme) `x~~3,6` .
`y=text(-)60`
`f(x)=5*2^x-60=20` geeft `2^x = 16 = 2^4` , dus `x=4` .
`2sqrt(2)=2^1*2^(1/2)=2^(3/2)`
`x=1 1/2`
`4^x` | `=` | ` (2^2)^x=2^(2x)` | |
`8^(x+2)` | `=` | `(2^3)^(x+2)=2^(3(x+2))` | |
`2^(2x)` | `=` | `2^(3(x+2))` | |
`2x` | `=` | ` 3x+6` | |
`x` | ` =` | `text(-)6` |
`9^(2x)=(3^2)^(2x)=3^(4x)`
en
`sqrt(3)=3^(1/2)`
, dus
`3^(4x) = 3^(1/2)`
.
Dit geeft
`4x = 1/2`
en
`x = 1/8`
.
`2^ (2 x-1) ` | `=` | `32=2^5` | |
`2x-1` | `=` | `5` | |
`2x` | `=` | `6` | |
`x` | `=` | `3` |
`2^(1/2x+1)` | `=` | `4sqrt(2)=2^2*2^(1/2)=2^(2 1/2)` | |
`1/2x+1` | `=` | `2 1/2` | |
`1/2x` | `=` | `1 1/2` | |
`x` | `=` | `3` |
`540 *0,95^t` is dalend, dus `540 -540 *0,95^t` is stijgend.
`A=540`
Het opnemen van het medicijn in het bloed gaat op den duur steeds langzamer.
`405=540-540*0,95^t`
Voer in:
`y=540-540*0.95^x`
en
`y=405`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[0, 40]xx[0, 500]`
Snijpunt bij `x~~27,03` , dus na `27` minuten.
`f(x)=2^ (x-2) -3 = 2^x * 2^(text(-)2) - 3 = 1/4*2^x-3`
`a(x)=2^x` met `1/4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)3` in de `y` -richting.
`g(x)=4 *0,5^ (x-3) -1 = 4 * 0,5^x * 0,5^(text(-)3) - 1 = 32*0,5^x-1` .
`b(x)= (1/2) ^x` met `32` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)1` in de `y` -richting.
`f(x)` | `=` | `text(-) 2 7/8` | |
`1/4*2^x-3` | `=` | `text(-)2 7/8` | |
`1/4*2^x` | `=` | `1/8` | |
`2^x` | `=` | `1/2` | |
`x` | `=` | `text(-)1` |
Voer in:
`y=4*0.5^(x-3)-1`
en
`y=1.5`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)5, 10]xx[text(-)3, 3]`
.
Snijpunt bij `x ~~ 3,678` . Grafiek `x lt 3,67` .
`g(x)ge1`
`f(text(-)1)=text(-)2 7/8`
en
`g(text(-)1)=63`
Dus
`AB=63 -text(-)2 7/8=65 7/8`
.
Voer in:
`y=2^(x-2)-3`
en
`y=4*0.5^(x-3)-1`
en
`y=5`
.
Venster bijvoorbeeld:
`[text(-)10, 10]xx[text(-)10, 10]`
.
Snijpunten bij `x=5` en `x~~2,415` , dus `CD≈5 -2,415 ≈2,585` .
Op `t=0` is de `K(0 )=80` °C. De temperatuur daalt langzaam richting `20` °C.
De vergelijking
`60 *0,998^t+20 =50`
kun je met GeoGebra of een grafische rekenmachine oplossen.
Je kunt er ook eerst
`0,998^t=0,5`
van maken. Ga na dat je vindt:
`t≈346`
.
Conclusie: na ongeveer `346` seconden ( `5` minuten en `46` seconden) is de koffie voor veel mensen niet lekker meer.
`0,83^t=0,5` geeft `t≈3,72` . De koffie is drinkbaar tot 11:43 uur.
Als `t=0` , dan geldt `T=80` °C.
De groeifactor `0,83` is kleiner dan `1` .
Met `60` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `20` in de `y` -richting.
`t≈21,97` , dus ongeveer `22` uur. Dus tot de volgende dag ’s morgens om 6:00 uur.
`T=20`
De temperatuur in de woonkamer is `20` °C; de constante `20` die steeds meer wordt benaderd is de omgevingstemperatuur.
Met `text(-)3` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna translatie van `5` in de `y` -richting.
Het grondtal is `1/2` en je vermenigvuldigt met het negatieve getal `text(-)3` .
`y=5`
`text(B)_(f)=langle←, 5 rangle`
`(text(-)0,74; 0)` .
`x≤text(-)0,74` .
`f(x)=59 *1,165^x` .
`g(x)= (1/2) ^ (x-1) +2 = (1/2)^x * (1/2^(text(-)1)) + 2 = 2*(1/2)^x + 2` .
`text(B)_(f)=langle text(-)2 , →rangle` en `text(B)_(g)=langle2 , →rangle` .
`x le 2,15` .