Exponenten en machten > Exponentiële functies
12345Exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a
b
c

Dan nadert `q` de waarde `500000` .

d

Hoe groter `t` , hoe kleiner `(0,6)^t` . Op gegeven moment gaat dit deel van de formule naar nul. Er blijft dan over: `150` en dat is de limiet.

e
Opgave 1
a

`f(x)=2^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.

b

`f(x)=1^x` ; geen nulpunten; geen asymptoot, omdat `1^x=1` voor elke `x` .

c

`f(x)=0,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is afnemend dalend.

d

`f(x)=2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend stijgend.

e

`f(x)=text(-)2 *1,5^x` ; geen nulpunten; `y=0` is de horizontale asymptoot; de grafiek is toenemend dalend.

Opgave 2

Er geldt:

  • Als `g gt 1` is de grafiek voortdurend toenemend dalend.

  • Als `g=1` is de grafiek constant.

  • Als `0 lt g lt 1` is de grafiek voortdurend afnemend stijgend.

  • Er zijn geen nulpunten, de `x` -as is een horizontale asymptoot.

  • Er zijn geen extremen.

Opgave 3
a

`f_1 (x)=3 *2^x+1` , ontstaat door eerst te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en daarna te verschuiven met `1` in de `y` -richting.

b

`f_2 (x)=3 * (1/2) ^x-1` ; de grafiek van de functie ontstaat uit de grafiek van `y= (1/2) ^x` door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `3` en door de translatie van `text(-)1` ten opzichte van de `x` -as.

c

`f_3 (x)=text(-)10 *1,5^x+100` ontstaat door te vermenigvuldigen ten opzichte van de `x` -as met `text(-)10` en te verschuiven met `100` in de `y` -richting.

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5 , 8 ]xx[text(-)10 , 150 ]`

Opgave 4
a

`f(x)=3 * (1/4) ^x-12`

b

De grafiek van `f` ontstaat uit die van `y= (1/4) ^x` door eerst te vermenigvuldigen met `3` ten opzichte van de `x` -as en daarna een translatie van `text(-)12` ten opzichte van de `x` -as toe te passen.

c

Dit kan met een grafische rekenmachine of met GeoGebra. Je vindt: `(text(-)1, 0)` .

d
`3 * (1/4) ^x-12 ` `=` ` 0`
`(1/4)^x ` `=` ` 4`
`4^(text(-)x)` `=` `4^1`
`x ` `=` ` text(-)1`
Opgave 5
a

De groeifactor van B is groter dan die van A.

b

Voer in (GeoGebra of de GR): `y=750*1.025^x` en `y=620*1.031^x` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 50] xx [0, 2500]` .
Voor het snijpunt geldt `x=32,6138...` .

c

`B(8)~~791,518` , dus op 1 januari 2021 had stad C `791518` inwoners. Op 1 januari 2013 hadden ze `791518*1,083^(text(-)8)~~418247` inwoners.

Noem `C` het aantal inwoners in duizendtallen van stad C, dan is `C(t)=418,247*1,083^t` , met `t=0` op 1 januari 2013.

Voer in: `y=750*1.025^x` en `y=418.247*1.083^x` .

Venster bijvoorbeeld: `[0, 20]xx [0, 1500]` .

De grafieken snijden elkaar bij `x~~10,6` .

Dus in het jaar 2023 zijn de steden even groot.

Opgave 6
a

Als er dagelijks `20` % minder is, blijft er `80` % over. Dus de groeifactor is `0,8` .

b

Voer in (GeoGebra of de GR): `y=40*0.8^x`
Venster bijvoorbeeld: `[0, 50] xx [0, 40]` .

c

Voer in: `y=1` en bepaal het snijpunt van beide grafieken.
`t gt 16,53`

Opgave 7

`g_4=350/200=1,75` , dus `g =1,75^(1/4)~~1,15`

`f(x)=b*1,15^x`

`f(10)=b*1,15^10=200` , dit geeft `b~~49` .

Dus: `f(x)~~49*1,15^x`

Opgave 8
a

Verschuiving van `text(-)1` in de `x` -richting, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting en ten slotte verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.

b

`f(x)=2 *2^x*2 -1` ⇒ `f(x)=4 *2^x-1`

c

Met `4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en dan verschuiving van `text(-)1` in de `y` -richting.

d

`(0, 3)`

e

`2 *2^ (x+1) -1 = 0` geeft `2^(x+1) = 1/2 = 2^(text(-)1)` , zodat `x = text(-)2` .

Grafiek: `x gt text(-)2` .

Opgave 9
a

`4 *3^x+6 =330` geeft `3^x = 81 = 3^4` en dus `x=4` .

b

`sqrt(2 )* (1/3)^(x+1) =27 sqrt(6 )` geeft `(3^(text(-)1))^(x+1) = 27sqrt(3) = 3^(3,5)` .
Dit geeft `3^(text(-)x-1) = 3^(3,5)` en `text(-)x-1 = 3,5` zodat `x=text(-)4,5`

Opgave 10

De vergelijking wordt: `(1/3) ^x=1/4` en dat levert `x~~1,2619` op.

Grafiek: `x le 1,26` .

Opgave 11
a

`f(3)=3281,25`

`f(text(-)5)=2,1504`

b

`y=0`

c

Voer in: `y=210*2.5^x` en `y=1200`
Venster bijvoorbeeld: `[0, 5]xx[0, 1500]` ..

Snijpunt bij `x~~1,90` .

d

Los op `f(x) = 2345` en gebruik de grafiek: `x le 2,63`

Opgave 12
a

Groeifactor per vier maanden: `1630/2000=0,815` .
Groeifactor per jaar: `g=0,815^3≈0,541` .

Een jaar voor 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541^(text(-)1)≈3695` Bq.

b

`g_(4\ text(maanden))=1630/2000=0,815`
`g_(text(jaar))=0,815^3≈0,541`

`2,5` jaar na 6 januari 2014 was de straling `2000 *0,541... ^(2,5)≈431` Bq.

c

`S(t)=2000 *0,541^t`

d

`text(B)_S=langle 0 ,931231 ]`

e

`2000*0,541^t = 1000` geeft `t~~ 1,13` .
Dus na een jaar en iets meer dan een maand.
De straling is gehalveerd in februari 2015.

Opgave 13

Bij `x=1` heeft `f` de waarde `20` , dus de groeifactor is `20/10=2` . Hieruit volgt dat `f(x)=10 *2^x` .

Bij `x=text(-)1` heeft `g` de waarde `30` , dus de groeifactor is `10/30=1/3` . Hieruit volgt dat `g(x)=10 * (1/3)^x` .

Opgave 14
a

Eerst met `5` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna een translatie van `text(-)60` in de `y` -richting.

b

`f(x)=5*2^x-60=0` geeft `2^x = 12` en (GeoGebra, of GR, of logaritme) `x~~3,6` .

c

`y=text(-)60`

d

`f(x)=5*2^x-60=20` geeft `2^x = 16 = 2^4` , dus `x=4` .

Opgave 15
a

`2sqrt(2)=2^1*2^(1/2)=2^(3/2)`

`x=1 1/2`

b
`4^x` `=` ` (2^2)^x=2^(2x)`
`8^(x+2)` `=` `(2^3)^(x+2)=2^(3(x+2))`
`2^(2x)` `=` `2^(3(x+2))`
`2x` `=` ` 3x+6`
`x` ` =` `text(-)6`
c

`9^(2x)=(3^2)^(2x)=3^(4x)` en `sqrt(3)=3^(1/2)` , dus `3^(4x) = 3^(1/2)` .
Dit geeft `4x = 1/2` en `x = 1/8` .

d
`2^ (2 x-1) ` `=` `32=2^5`
`2x-1` `=` `5`
`2x` `=` `6`
`x` `=` `3`
e
`2^(1/2x+1)` `=` `4sqrt(2)=2^2*2^(1/2)=2^(2 1/2)`
`1/2x+1` `=` `2 1/2`
`1/2x` `=` `1 1/2`
`x` `=` `3`
Opgave 16
a

`540 *0,95^t` is dalend, dus `540 -540 *0,95^t` is stijgend.

b

`A=540`

c

Het opnemen van het medicijn in het bloed gaat op den duur steeds langzamer.

d

`405=540-540*0,95^t`

Voer in: `y=540-540*0.95^x` en `y=405` .
Venster bijvoorbeeld: `[0, 40]xx[0, 500]`

Snijpunt bij `x~~27,03` , dus na `27` minuten.

Opgave 17
a

`f(x)=2^ (x-2) -3 = 2^x * 2^(text(-)2) - 3 = 1/4*2^x-3`

`a(x)=2^x` met `1/4` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)3` in de `y` -richting.

`g(x)=4 *0,5^ (x-3) -1 = 4 * 0,5^x * 0,5^(text(-)3) - 1 = 32*0,5^x-1` .

`b(x)= (1/2) ^x` met `32` vermenigvuldigen in de `y` -richting en translatie van `text(-)1` in de `y` -richting.

b
`f(x)` `=` `text(-) 2 7/8`
`1/4*2^x-3` `=` `text(-)2 7/8`
`1/4*2^x` `=` `1/8`
`2^x` `=` `1/2`
`x` `=` `text(-)1`
c

Voer in: `y=4*0.5^(x-3)-1` en `y=1.5` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 10]xx[text(-)3, 3]` .

Snijpunt bij `x ~~ 3,678` . Grafiek `x lt 3,67` .

d

`g(x)ge1`

e

`f(text(-)1)=text(-)2 7/8` en `g(text(-)1)=63`
Dus `AB=63 -text(-)2 7/8=65 7/8` .

f

Voer in: `y=2^(x-2)-3` en `y=4*0.5^(x-3)-1` en `y=5` .
Venster bijvoorbeeld: `[text(-)10, 10]xx[text(-)10, 10]` .

Snijpunten bij `x=5` en `x~~2,415` , dus `CD≈5 -2,415 ≈2,585` .

Opgave A1Afkoeling van een blokje koper
Afkoeling van een blokje koper
a

`150` °C.

b

`t` (min.) `0` `10` `20`
`T` (°C) `150` `50` `16,7`

Een veelvoud van `10` resulteert in een "mooie" vermenigvuldigingsfactor t.o.v. de starttemperatuur. Immers:

`3^(text(-)10/10)` `=` `3^(text(-)1)=1/3`
`3^(text(-)20/10)` `=` `3^(text(-)2)=1/9`
`3^(text(-)30/10)` `=` `3^(text(-)3)=1/27`
c
Opgave A2Afkoeling van twee blokjes koper
Afkoeling van twee blokjes koper
a

Bij blokje `A` wordt elke `10` minuten met `3^(text(-)1)` vermenigvuldigd.

Bij blokje `B` wordt elke `15` minuten met `3^(text(-)1)` vermenigvuldigd.

b

Ongeveer na `11` minuten, de temperatuur is dan ongeveer `45` °C.

c
d

Via aflezen uit de grafiek, dat is echter redelijk lastig. Beter is het om een tabel te maken met `3` kolommen: `T_A` , `T_B` en `T_A-T_B` en op basis daarvan de schatting te doen.

Opgave T1
a

Met `text(-)3` vermenigvuldigen in de `y` -richting en daarna translatie van `5` in de `y` -richting.

b

Het grondtal is `1/2` en je vermenigvuldigt met het negatieve getal `text(-)3` .

c

`y=5`

d

`text(B)_(f)=langle←, 5 rangle`

e

`(text(-)0,74; 0)` .

f

`x≤text(-)0,74` .

Opgave T2

`f(x)=59 *1,165^x` .

Opgave T3
a

`g(x)= (1/2) ^ (x-1) +2 = (1/2)^x * (1/2^(text(-)1)) + 2 = 2*(1/2)^x + 2` .

b

`text(B)_(f)=langle text(-)2 , →rangle` en `text(B)_(g)=langle2 , →rangle` .

c

`x le 2,15` .

verder | terug