Exponenten en machten > Machtsfuncties
12345Machtsfuncties

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Kies verschillende getallen voor `r` , dus bekijk de grafieken van `y=x` , `y=x^2` , `y=x^3` , `y=x^4` , etc.
Bij `y=x^2` , `y=x^4` , `y=x^6` , ..., is er een minimum van `0` .

b

Als `r` een oneven positief getal is. Voorbeelden: `y=x^3` , `y=x^5` , etc.

c

Neem voor `r` een negatief oneven getal.

d

Omdat `x^(text(-)n) = 1/(x^n)` .
Je hebt daarom met breuken te maken en dan mag je niet door `0` delen.
Bovendien wordt `y = 1/(x^n)` heel erg klein (dicht bij `0` als `n rarr +-oo` .

De asymptoten zijn de twee coördinaatassen.

e

Bij `r=1/2` mag je alleen positieve waarden en `0` voor `x` toelaten.
Bij `r=1/3` kan `x` alle waarden hebben.

f

Er zit een knik bij `O(0, 0 )` .

g

Bij e zag je dat alle waarden van `x` toelaten alleen kan als `r` een breuk met een oneven noemer is en niet bij breuken met een even noemer. Het gemakkelijkst is dan het nooit toelaten van negatieve `x` waarden bij niet gehele decimale getallen. Dat is dan een afspraak.

Opgave 1
a

Transformaties:

  • vermenigvuldiging in de `y` -richting met `0,5`

  • verschuiving in de `x` -richting met `3`

  • verschuiving in de `y` -richting met `1`

Minimum `f(3)=1` .

b

Nee, deze functie heeft geen uiterste waarden.

c

Voor `r = 2` en voor `r=4` .

d

`r=0` : de grafiek is de lijn `y=1` .

`r=1` : de grafiek is de lijn `y=x` .

Opgave 2
a

Verticale asymptoot `x=2` .
Horizontale asymptoot `y=4` .

b

`y=x^(text(-)1)`

Verticale asymptoot `x=0` .
Horizontale asymptoot `y=0` .

c

`g(x) = text(-)2*(x+1)^(text(-)2) + 3` .

d

Verticale asymptoot `x=text(-)1` .
Horizontale asymptoot `y=3` .

Opgave 3
a

`text(D)_f = [2, rarr rangle` en `text(B)_f = [4, rarr rangle` .

b

`y=x^(1/2)`

`text(D)_f = [0, rarr rangle` en `text(B)_f = [0, rarr rangle` .

c

`g(x) = text(-)2*(x+1)^(text(-)0,5) + 3` .

d

Verticale asymptoot `x = text(-)1` .
Horizontale asymptoot `y=3` .

`text(D)_f = langle text(-)1, rarr rangle` en `text(B)_f = langle 3, rarr rangle` .

Opgave 4
a

Alleen vermenigvuldiging in de `y` -richting met `2,01` .

b

`text(D)_T = [0, rarr rangle` en `text(B)_T = [0, rarr rangle` .

c

`l^(1/2)` wordt tot de macht `2 = 2/1` gedaan om `l` te krijgen: `(l^(1/2))^2 = l` .

d

Nee, want als je in de formule `l` door `2l` vervangt, krijg je `T ~~ 2,01*(2l)^(1/2) ~~ 2,84*l^(1/2)` .
Dus `T` wordt dan slechts `sqrt(2)=2^(1/2)~~1,41` keer zo groot.

Opgave 5
a

Getallen invullen: `F = 9,8 * (10*15)/(r^2) = 1470*r^(text(-)2)` .

b

Omdat `r` een afstand is moet `r ge 0` . Alleen `r=0` kan niet omdat je door `r` deelt in deze functie.

`text(D)_F = langle 0, rarr rangle` en `text(B)_F = langle 0, rarr rangle` .

c

`F(r) = 1470*r^(text(-)2) = 294` geeft `r^(text(-)2) = 0,2` en dus `r = 0,2^(text(-)1/2)~~2,24` .

Grafiek: `0 lt r le 2,2` m.

Opgave 6
a

Eerst `text(-)1` in de `x` -richting schuiven, daarna met `3` vermenigvuldigen in de `y` -richting, tenslotte `text(-)5` eenheden in de `y` -richting schuiven.

b

`f(x)=10` geeft `(x+1) ^4=5` en dus `x+1 = +-root4 (5 )` zodat `x=text(-)1 +-root[4] (5 )` .
Grafiek: `f(x) lt 10` als `text(-)1 -root[4] (5 ) lt x < text(-)1 + root[4] (5 )` .

Opgave 7
a

`x^2=x^(1/2)` .

kwadrateren geeft: `x^4=x` .

Herleiden op `0` : `x^4-x=0`  geeft   `x(x^3-1)=0` en   `x=0vvx=1` .

Grafieken: `0 le x lt 1` .

b

`x^4=1/81=1/3^4` geeft `x=1/3vvx=text(-)1/3` .

c

`x^3=1/27=1/3^3` .

`x=1/3` .

Grafiek: `x gt 1/3 vv x lt 0` .

d

`x^3=1/30` geeft `x=root3(1/30)` .

Grafiek: `x lt 0 ∨ x gt root3 (1/30)` .

e

Herleiden op `0` : `x^5-x^4=0`  geeft   `x^4(x-1)=0` en   `x=0vvx=1` .

Grafiek: `x lt 0 ∨0 lt x lt 1` .

f

Herleiden op `0` : `x^6-x^4=0`  geeft   `x^4(x^2-1)=0` en   `x=0vvx=1vvx=text(-)1` .

Grafiek: `text(-)1 lt x lt 0 ∨0 lt x lt 1` .

Opgave 8
a

`x=0` en `y=0`

b

Eerst `1` naar links schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen in de `y` -richting, tenslotte `4` eenheden omlaag schuiven.

c

`x=text(-)1` en `y=text(-)4`

d

`text(D)_f=〈←, text(-)1 〉 uu 〈text(-)1 ,→〉` en `text(B)_f=〈text(-)4 ,→〉`

e

`f(x)=10` geeft `(x+1) ^(text(-)2)=7` en dus `x=text(-)1 -7^(text(-)1/2) ∨x=text(-)1 +7^ (text(-)1/2)` .
`f(x) lt 10` als `x lt text(-)1 -7^ (text(-)1/2) ∨ x gt text(-)1 +7^ (text(-)1/2)` .

Opgave 9
a

Je vindt `Z=0,70*m^(0,75)` . Dit is dezelfde formule.

b

`Z≈124,5` L.

Opgave 10
a

`text(D)= [0, →〉`
`text(B)= [0, →〉`

b

Er is een minimum van `0` voor `x = 0` .

c

Er is geen asymptoot.

d
`2x^(1/4)` `=` `10`
`x^(1/4)` `=` `5`
`x` `=` `625`

Lees uit de grafiek af: `0 le x le 625`

Opgave 11
a

`a=500 p^(text(-)1)`

b

`p_2=2p_1` , dan `a_2=500/(2p_1)=250/p_1` .

Conclusie: Bij verdubbeling van de prijs wordt `a`  gehalveerd. 

Denk erom: een getallenvoorbeeld is nooit voldoende.

c

Als `a=300` , dan `p=500/300≈ 1,67` . Formule: `p=500/a` .

d

Als `p= 0,01` , dan `a=50000` en als `p=100` , dan `a=5` .
Dit zijn waarden voor `a` die ver uitstijgen of onder de `100` tot `1000` kg van de verkoop per dag. Dus deze prijzen zijn onbruikbaar. Als `a=100` is `p=5` en als `a=1000` is `p = 0,5` . Dus `0,50 ≤ p ≤5` .

Opgave 12
a

Je kunt de functie schrijven als: `f(x)=3 * (x-1 ) ^ (text(-)1/2) +5`

b

Eerst `1` naar rechts schuiven, dan met `3` vermenigvuldigen in de `y` -richting  en tenslotte `5` omhoog  schuiven.

c

`text(D)_f=⟨1 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨5 ,→⟩` .

d

`3/ (sqrt(x-1 )) +5 =10` geeft: `3/ (sqrt(x-1 )) =5` en `sqrt(x-1 )=0,6` , zodat `x-1=0,36` , waaruit volgt dat `x=1,36` .

Grafiek: `f(x)≤10` als `x≥1,36` .

Opgave 13
a

`f(x)=text(-)5 +2 (x-3 ) ^ (1/2)` en `g(x)=x^ (1/2)` .

Eerst `3` eenheden naar rechts schuiven, dan met `2` vermenigvuldigen t.o.v. `x` -as, tenslotte `5` eenheden omlaag schuiven.

b

`text(D)_(g) =[0 ,→⟩` en `text(B)_(g) =[0 ,→⟩` .

`text(D)_(f) =[3 ,→⟩` en `text(B)_(f) =[text(-)5 ,→⟩` .

c

`text(-)5 +2 (x-3 ) ^ (1/2) =100` geeft `(x-3 ) ^ (1/2) =52,5` en dus `x-3=( 52,5)^2=2756,25` , waaruit volgt dat `x=2759,25` .

`f(x)≥100` voor `x≥2759,25` .

Opgave 14
a

`f(x)=100 (x-10 ) ^(text(-)2) + 25`  ontstaat uit   `y=x^(text(-)2)` door:

`10` eenheden naar rechts schuiven, met `100` vermenigvuldigen in de `y` -richting en `25` omhoog schuiven.

b

Verticale asymptoot `x=10` en horizontale asymptoot `y=25` .

c

`text(D)_f=⟨←,10 ⟩ uu ⟨10 ,→⟩` en `text(B)_f=⟨25 ,→⟩`

d

`f(x)=50` geeft `(x-10 ) ^2=4` en `x=8 ∨x=12` .
Grafiek: `f(x)≤50` voor `x≤8 ∨x≥12` .

Opgave 15
a

`H = 0,007184*75^(0,425)*180^(0,725) ~~ 1,94` m2.

b

`H ~~ 0,310*M^(0,425)`

c

Van `H ~~ 1,94` m2 naar `H ~~ 0,310*80^(0,425)~~ 2,00` m2.
Dat is een toename van `(0,06)/(1,94)*100 ~~ 3,1` %.

d

`H = 0,007184*(L^3)^(0,425)*L^(0,725) = 0,007184*L^(3*0,425+0,725) = 0,007184*L^2` .

Opgave A1
a

Aannames:

  • De windkracht is een variabele die voor de hele luchtstroom langs de wieken dezelfde waarde heeft.

  • Voor het vermogen geldt `P = c * m * v^2` , een natuurkundige formule.

  • De luchtdichtheid is een constante.

b

`1/4 pi D^2` is de oppervlakte van een cirkel met een straal van `r = 1/2D` .
`P = c * m * v^2 = c * 1/4 pi D^2 * v * rho * v^2 = C * v^3 * D^2` met `C=c*1/4pi*rho`

c

Het vermogen meten bij bepaalde waarden van de windsnelheid en rotordiameter.

Opgave A2
a

`P=0,0013*v^3*20^2 = 0,52v^3` .

b

`P= 0,52*10^3 = 520` kW.

c

`0,52v^3 = 300` geeft `v^3 ~~ 577` en dus `v~~8,3` m/s.

d

Minimaal `0,52*3^3 = 14,04` kW en maximaal `4160` kW.

e

Dat wordt `2^3 = 8` keer zo groot (rekening houdend met de maximale windsnelheid).

f

Dat wordt `2^2 = 4` keer zo groot (rekening houdend met de maximale windsnelheid).

Opgave T1
a

`a` : `text(D)_a=ℝ` en `text(B)_a=ℝ` , stijgend voor elke `x` .

`b` : `text(D)_b=ℝ` en `text(B)_b=[0 ,→⟩` , stijgend voor `x lt 0` en dalend voor `x gt 0` , minimum `a(0)=0` .

b

`c` : `text(D)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_c=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x` , verticale asymptoot `x=0` en horizontale asymptoot `y=0` .

`d` : `text(D)_d=⟨←,0 ⟩∪⟨0 ,→⟩` en `text(B)_d=⟨0 ,→⟩` , stijgend voor `x lt 0` en dalend voor `x gt 0` , verticale asymptoot `x=0` en horizontale asymptoot `y=0` .

c

`e` : `text(D)_e=[0 ,→⟩` en `text(B)_e=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x gt 0` , minimum `e(0)=0` .

`f` : `text(D)_f=[0 ,→⟩` en `text(B)_f=[0 ,→⟩` , stijgend voor elke `x gt 0` , minimum `f(0)=0` .

Opgave T2
a

`x=text(-)3 +root4 (255 )∨x=text(-)3 -root4 (255 )`

b

Oplossing ongelijkheid: `4 ≤x lt 8` .

c

`root4 (x)=20` geeft `x=20^4` . Oplossing ongelijkheid: `0 ≤x lt 160000` .

d

Oplossing ongelijkheid: `x gt text(-)1 +root3 (50 )` .

e

Oplossing ongelijkheid: `3 ≤x lt 59,25` .

verder | terug