Exponenten en machten > Machtsfuncties
12345Machtsfuncties

Uitleg

Met de applet kun je grafieken bekijken van functies van de vorm `g(x)=a*(x-p)^r + q` .
Deze functies heten machtsfuncties.

Voor gehele positieve waarden van `r` krijg je ofwel grafieken met precies één minimum of maximum (als `r` even is), ofwel altijd stijgende of altijd dalende grafieken (als `r` oneven is).

De rekenregels voor machten maken dat wortelfuncties en gebroken functies vaak als machtsfunctie kunnen worden geschreven, bijvoorbeeld:

  • `y = 3/(x-2) + 4 = 3*(x-2)^(text(-)1) + 4`
    waarvan de grafiek ontstaat uit die van de standaard machtsfunctie `y=x^(text(-)1)` door in de `x` -richting met `2` te verschuiven, dan in de `y` -richting met `3` te vermenigvuldigen en dan nog in de `y` -richting met `4` te verschuiven.

  • `y = 3sqrt(x-2) + 4 = 3*(x-2)^(1/2) + 4`
    waarvan de grafiek ontstaat uit die van de standaard machtsfunctie `y=x^(1/2)` door in de `x` -richting met `2` te verschuiven, dan in de `y` -richting met `3` te vermenigvuldigen en dan nog in de `y` -richting met `4` te verschuiven.

Dit zijn beide machtsfuncties, maar hun grafieken zien er zeer verschillend uit.

De exponent `r` kan elke waarde aannemen.
Moet je een vergelijking met een machtsfunctie oplossen, dan kun je vanuit de macht `x^r` terugrekenen door de omgekeerde macht te gebruiken, want `(x^r)^(1/r) = x^1 = x` . Je zegt wel dat de inverse (omgekeerde) bewerking van een machtsfunctie een machtsfunctie is met de omgekeerde exponent.

Opgave 1

Het gaat in de Uitleg over machtsfuncties van de vorm `y=a*(x-p)^r + q` . De grafieken van deze functies ontstaan door transformatie van de grafiek van de standaard machtsfunctie `y=x^r` .

a

Bekijk de grafiek van `f(x) = 0,5(x-3)^2 + 1` .
Welke transformaties moet je op de standaard machtsfunctie toepassen om de grafiek van `f` te krijgen?
Welke uiterste waarde (maximum of minimum) heeft `f` ?

b

Bekijk de grafiek van `g(x) = 0,5(x-3)^3 + 1` .
Heeft de grafiek van `g` uiterste waarden?

Bekijk de grafieken van `y = x^r` met `r = 0, 1, 2, 3, 4, 5` .

c

Voor welke waarden van `r` heeft de grafiek uiterste waarden?

d

Hoe ziet de grafiek er uit als `r=0` ? En als `r=1` ?

Opgave 2

Bekijk de grafiek van `f(x) = 3/(x-2) + 4 = 3*(x-2)^(text(-)1) + 4` .

a

Welke asymptoten heeft de grafiek van `f` ?

b

Uit welke standaard machtsfunctie kan de grafiek van `f` ontstaan?
Welke asymptoten heeft die standaard machtsfunctie?

Bekijk nu de functie `g(x) = 3 - 2/((x+1)^2)` .

c

Schrijf het functievoorschrift als machtsfunctie.

d

Welke asymptoten heeft de grafiek van `g` ?

Opgave 3

Bekijk de grafiek van `f(x) = 3sqrt(x-2) + 4 = 3*(x-2)^(1/2) + 4` .

a

Welk domein heeft de grafiek van `f` ?
En welk bereik?

b

Uit welke standaard machtsfunctie kan de grafiek van `f` ontstaan?
Welk domein en bereik heeft die standaard machtsfunctie?

Bekijk nu de functie `g(x) = 3 - 2/(sqrt(x+1))` .

c

Schrijf het functievoorschrift als machtsfunctie.

d

Welke asymptoten heeft de grafiek van `g` ? En welk domein en bereik?

verder | terug