Exponenten en machten > TotaalbeeldToepassen
Een natuurkundige toepassing van exponentiële functies vind je bij radioactiviteit.
Radioactiviteit is een eigenschap van bepaalde instabiele zeer zware metalen. Bekende voorbeelden zijn radium en uranium. Het gaat daarbij om stoffen waarvan de atoomkern straling (in de vorm van bepaalde deeltjes) uitzendt. Soms is deze straling schadelijk voor leven. Een voorbeeld is U-238, een isotoop van uranium die door het uitstoten van `α` -deeltjes (deeltjes die bestaan uit twee protonen en twee neutronen) wordt omgezet in thorium, Th-234. Uranium is een metaal dat in de natuur voorkomt, ruim `98` % daarvan is U-238. De halfwaardetijd is de tijd die nodig is om de helft van de oorspronkelijke hoeveelheid om te zetten in thorium. De halfwaardetijd van U-238 is ongeveer `4,468 *10^9` jaar. Het verval van U-238 gebeurt exponentieel, dus de hoeveelheid `H` is een functie van de tijd `t` . Begin je met `1` kg U-238, dan heb je na `4,468` miljard jaar nog `0,5` kg over (plus `0,5` kg Th-234). Je kunt dus het beste de tijd in miljarden jaren nemen, de groeifactor is dan ongeveer `0,8563` . En `A=1000*0,8563^t` gram.
Het element radium-228 is radioactief. Het vervalt tot het niet-radioactieve radium- 224. Van een willekeurige hoeveelheid radium-228 wordt in één jaar `10` % omgezet in radium-224. Een laboratorium heeft in het jaar 2010 `1000` mg radium-228.
Geef een formule van `R` , de hoeveelheid radium-228 in mg, op tijdstip `t` in jaren.
Bereken hoe lang het duurt (tot op een maand nauwkeurig) totdat er van de `1000` mg radium-228 nog `800` mg over is.
Bij radioactieve stoffen zijn scheikundigen vaak geïnteresseerd in de halveringstijd. Bereken de halveringstijd van radium-228.
Als je de halveringstijd weet kun je overzien hoe snel het verval gaat. Schat met behulp van de halveringstijd hoe lang het duurt tot er `750` mg radium-228 is omgezet in radium-224.
De afsluiting van de Grevelingen had voor de visstand grote gevolgen. Om die gevolgen in kaart te brengen werden wiskundige modellen ontwikkeld. Onder andere voor de ontwikkeling van de scholpopulatie. Hiervoor werd o.a. het volgende model opgesteld:
-
jaarlijks komen er `5` miljoen larven het Grevelingenmeer binnen;
-
jaarlijks komen `200.000` volwassen schollen (één jaar of ouder) het Grevelingenmeer binnen;
-
`90` % van die larven sterven als jonge vissen (dus voordat ze `1` jaar zijn);
-
`33` % van de volwassen vissen sterven jaarlijks.
Op grond hiervan kun je een tabel maken van het aantal volwassen schollen in het Grevelingenmeer:
| tijd `t` in jaar | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| aantal volwassen schollen `N` | 200.000 | 833.333 | 1.255.556 | 1.537.037 | 1.724.691 | 1.849.794 |
Zet je deze tabel voort, dan zul je zien dat het aantal volwassen schollen in dit model naar `2100000` nadert. Bij de tabel past de formule: `N(t)=2,1 -1,9 * (2/3) ^t` met `N` in miljoenen. Dat kun je zelf afleiden...
Laat zien hoe uit het model de gegeven tabel kan worden afgeleid.
Zet die tabel voort en laat zien dat het aantal volwassen schollen in het Grevelingenmeer volgens dit model de 2.100.000 gaat benaderen.
Leid nu zelf de gegeven groeifunctie af.
Waarom wordt in dit geval wel gesproken van geremde groei?
De kijkafstand op aarde is de grootste afstand waarop je nog een punt op aarde kunt zien als je zelf op een totaal kale aarde staat.
Neem eens aan dat de aarde een zuivere bol is met een omtrek van `40.000` km. De hoogte `h` (in m) is de afstand van je ogen tot het aardoppervlak. In de tekening zie je hoe dat er dan in doorsnede uit ziet. De kijkafstand `a` (in m) is dan de lengte van `PR` (eigenlijk van de boog `QR` maar dat verschilt niet veel van elkaar).
Hoe kun je nu `a` berekenen? Maak zo een formule voor `a` afhankelijk van `h` .
Omdat `h^2` heel veel kleiner is dan `12732400h` kun je `h^2` verwaarlozen. Je vindt dan `a≈3568 sqrt( h ) =3568 h^ (1/2)` .
De kijkafstand `a` is dus bij benadering een machtsfunctie van de hoogte `h` die je ogen boven het aardoppervlak zitten.
Laat zien dat ongeveer geldt `a≈3568 sqrt( h ) =3568 h^ (1/2)` .
Je kunt zo ook een formule afleiden voor de kijkafstand op de maan. Zoek de daarvoor benodigde gegevens op en leidt die formule af.
Kun je op de maan verder of minder ver kijken dan op de aarde?