Exponenten en machten > TotaalbeeldToepassen
Het lijkt aannemelijk dat er een verband bestaat tussen de oppervlakte van een gebied
en het aantal verschillende diersoorten dat in dat gebied voorkomt. Een theorie hierover
stelt dat het aantal verschillende diersoorten op een eiland in een bepaalde klimaatzone
alleen afhankelijk is van de oppervlakte van het eiland. In deze opgave kijken we
naar de verschillende soorten reptielen op eilanden in het Caraïbisch gebied.
Onderzoekers telden op vele eilanden het aantal verschillende soorten reptielen (
`S`
). In de volgende figuur zijn de gegevens van enkele eilanden weergegeven.
Volgens de theorie is het verband tussen de oppervlakte
`A`
van een eiland (in vierkante mijlen) en het aantal soorten reptielen (
`S`
) op dat eiland te beschrijven met de formule
`S=3 *A^(0,30)`
.
De lijn in de figuur is de grafiek die bij deze formule behoort.
Op het eiland Jamaica zijn meer soorten reptielen aangetroffen dan op grond van de theorie (de formule) verwacht mag worden. Hoeveel soorten reptielen zou een even groot eiland volgens de theorie hebben? Licht je antwoord toe.
Binnen de theorie geldt als ruwe regel: "Bij een `10` keer zo groot eiland vinden we `2` keer zoveel diersoorten." Laat zien dat dit uit de formule volgt.
Op een groot eiland worden veel verschillende soorten reptielen met uitsterven bedreigd. Men wil maatregelen nemen om de natuur te beschermen. Daarbij moet er een keuze worden gemaakt uit twee mogelijkheden:
-
Oprichting van `1` groot natuurreservaat met een oppervlakte van `400` vierkante mijlen.
-
Oprichting van `2` kleinere reservaten, elk met een oppervlakte van `200` vierkante mijlen. Dergelijke natuurreservaten liggen geïsoleerd in de bewoonde wereld en kunnen als "eilanden" beschouwd worden.
Voor het schatten van het aantal soorten reptielen dat in zo’n reservaat zal voorkomen kan de formule `S=3 *A^(0,30)` gebruikt worden. Of voor `1` of `2` gekozen wordt, is mede afhankelijk van het aantal soorten dat de twee kleinere reservaten gemeen zullen hebben. Men neemt aan dat er `8` soorten reptielen zijn die zowel in het éne als het andere kleine reservaat zullen voorkomen. Men wil de mogelijkheden kiezen waarbij in totaal zoveel mogelijk verschillende soorten reptielen zullen voorkomen.
Welke van de twee mogelijkheden zal men kiezen? Licht je antwoord toe.
De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangetoond dat bij `1000` bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met `500` gram toeneemt. Om te voorkomen dat er te veel ureum in het water komt, moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van `2` gram ureum per cm3 water niet overschreden wordt. In een model gaan we er van uit dat dagelijks `1000` bezoekers een bad van `1000` m3 bezoeken. Voor verversing rekent men `30` liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat 's nachts `30` m3 ververst wordt (dus `3` % van het totaal). We beginnen de eerste dag met `0` gram ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er `500` gram ureum in het water. Na verversen is er dan aan het begin van de tweede dag `485` gram ureum over.
Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim `955` gram ureum in het water zit.
In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.
Het blijkt dat `30` liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van `30` liter wordt daarom `200` liter genomen.
Stel `U` is de hoeveelheid ureum aan het begin van een zekere dag. Toon aan dat de hoeveelheid ureum aan het begin van de daaropvolgende dag gelijk is aan `0,8 U+400` .
We starten in het model weer met `0` gram ureum aan het begin van de eerste dag. De hoeveelheid ureum in gram ( `U_n` ) aan het begin van de `n` de dag kan rechtstreeks berekend worden met de formule: `U_n=2000 -2500 *0,8^n`
Leg uit met behulp van deze formule dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm voldaan wordt.
In de loop van de dag kan de wettelijke norm wel worden overschreden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.
Regelkleppen worden in de procestechniek vaak toegepast. Een regelklep is in feite
een instelbare stromingsweerstand in de leiding waarmee de volumestroom wordt geregeld.
De volumestroom door de klep is niet alleen afhankelijk van de doorlaat (klepopening),
maar ook van het drukverschil over de klep. Als er geen drukverschil is, is er ook
geen volumestroom.
Bij een regelklep met een kleine klepopening is het drukverlies over de regelklep
groot, er is dan veel weerstand. Bij een volledig geopende klepopening, is het drukverlies
over de regelklep klein.
Bij de equiprocentuele klep neemt de doorlaat (klepopening) niet lineair, maar exponentieel
toe met de klepheffing. Zie grafiek. Door deze exponentiële toename van de doorlaat
ontstaat er, ondanks een niet-constant drukverschil over de klep, vrijwel een lineaire
relatie tussen de klepstand en de volumestroom. Een zo lineair mogelijk verband tussen
de klepheffing en de volumestroom is nodig om een goede regeling te (kunnen) krijgen.
De relatieve doorlaat van een equiprocentuele klep kun je als volgt berekenen:
`A = R^(x-1)`
Hierin is:
-
`A` de relatieve doorlaat ( `0 - 1` )
-
`R` het grondtal ( `25 - 50` )
-
`x` de klepheffing ( `0 - 1` )
Jan heeft een equiprocentuele klep besteld met grondtal `R = 25` .
Hoe groot is de relatieve doorlaat van deze klep als de klepheffing `50` % ( `x=0,5` ) is?
Bij welke relatieve klepheffing is de relatieve doorlaat van de klep `0,7` (dus `70` %)?
Is deze regelklep volledig afgesloten in gesloten positie? Leid je antwoord af uit de formule.
Jos heeft ook een equiprocentuele klep nodig. Voor de toepassing van zijn klep moet bij een relatieve klepheffing van `55` % de relatieve doorlaat `20` % zijn.
Welke waarde moet het grondtal `R` van deze klep dan hebben? Teken de klepkarakteristiek van deze klep.
De relatieve doorlaat
`A`
neemt exponentieel toe met de klepheffing.
Bij welke klep neemt die het snelst toe: bij de klep van Jan of bij de klep van Jos?
Controleer je antwoord door van beide kleppen
`A`
te berekenen bij
`x = 0,2`
.
De kleppen van Jan en Jos hebben elk een maximale klepheffing van
`108`
mm.
Jan heeft onderzocht dat bij een bepaalde klepheffing de relatieve doorlaat van zijn
klep
`25`
% groter is dan die van Jos, terwijl beide kleppen dan dezelfde klepheffing hebben.
Bij welke klepheffing is dat het geval?
Van een andere equiprocentuele klep is de maximale klepheffing
`72`
mm. De doorlaat is dan
`30`
cm2.
Bij een klepheffing van
`54`
mm is de doorlaat
`24`
cm2. Bij deze klepopening stroomt er per uur
`18`
m3 vloeistof door de klep.
Je mag ervan uitgaan dat de klepheffing recht evenredig is met de volumestroom (lineair
verband).
Geef het verband tussen de relatieve doorlaat
`A`
en de klepheffing
`x`
.
Bereken hiermee hoeveel liter vloeistof elke minuut (nog) door de klep stroomt als
er geen klepheffing is (gesloten positie).
Hoe groot moet bij deze klep de klepheffing zijn als je een volumestroom van `6` m3/uur wil instellen?