Logaritmen > Logaritmen
12345Logaritmen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`8^t=6000` geeft `t = \ ^8log(6000) ≈ 4,184` uur.
Dus na 4:11 uur.

Opgave 1
a

`6 * 2^t = 60` geeft `2^t = 10` en dus `t = \ ^2log(10)` .
Met de grafiek van `y = 2^t` (zie de applet) vind je `t = \ ^2log(10) ~~ 3,32` .

b

Het is de tijd waarin je telkens `10` keer zoveel krijgt.

c

`t = \ ^2log(3) ~~ 1,58` (gebruik weer de applet).

d

`t = \ ^2log(2) = 1` (heb je weer de applet gebruikt?).

e

`t = \ ^2log(16) = \ ^2log(2^4) = 4` .
Dit is de verzestienvoudigingstijd van dit groeiproces.

Opgave 2
a

`t = \ ^(1,5)log(2)~~1,71`

b

De verdrievoudigingstijd is `\ ^(1,5)log(3)~~2,71` jaar.
De verzesvoudigingstijd is `\ ^(1,5)log(6)~~4,42` jaar.

c

De verdubbelingstijd plus de verdrievoudigingstijd is hetzelfde als de verzesvoudigingstijd, dus `\ ^(1,5)log(2) + \ ^(1,5)log(3) = \ ^(1,5)log(6)` .

d

Als je twee keer verdubbeld, dan krijg je `2*2=2^2=4` keer zoveel.

e

Als je drie keer verdubbelt, dan krijg je `2*2*2=2^3=8` keer zoveel.

Opgave 3
a

De verdubbelingstijd is `t = \ ^(1,5)log(2)~~1,71` en de verviervoudigingstijd is `t = \ ^(1,5)log(4)~~3,42` .
De verachtvoudigingstijd is `t = \ ^(1,5)log(8)~~5,13` .
Je ziet `\ ^(1,5)log(2) + \ ^(1,5)log(4) = \ ^(1,5)log(8)` .

b

`\ ^(1,5)log(5) + \ ^(1,5)log(10) = \ ^(1,5)log(5*10) = \ ^(1,5)log(50)`

c

`\ ^(1,5)log(6) - \ ^(1,5)log(2) = \ ^(1,5)log(6/2) = \ ^(1,5)log(3)`

d

Als je vijf keer verdrievoudigt, dan krijgt je `3*3*3*3*3 = 3^5` keer zoveel.

Opgave 4
a

Je kunt `\ ^(1,5)log(2)` berekenen met behulp van de grafieken van `y_1 = 1,5^x` en `y_2 = 2` . Je vindt dan `\ ^(1,5)log(2) ~~ 1,71` .
Je kunt `(log(2))/(log(1,5))` berekenen met de log-knop van je rekenmachine: `(log(2))/(log(1,5)) ~~ 1,71` .

b

`4 * 1,5^t = 100` geeft `1,5^t = 25` en dus `t = \ ^(1,5)log(25) = (log(25))/(log(1,5)) ~~ 7,94` .

Opgave 5
a

Je moet oplossen: `43000 * 1,02^t = 100000` .

`43000 * 1,02^t`

`=`

`100000`

`1,02^t`

`=`

`2,325...`

`t`

`=`

`\ ^(1,02)log(2,325...) = (log(2,325...))/(log(1,02)) ≈ 42,6`

Dus voor het eerst in 2061.

b

`t=\ ^(1,02)log(2) = (log(2))/(log(1,02)) ≈ 35,00` , dus dat is precies `35` jaar en `0` maanden.

Opgave 6
a

De groeifactor is `0,8` .

b

`100*0,8^t = 50` wordt `0,8^t=0,5` en `t=\ ^(0,8)log(0,5) = (log(0,5))/(log(0,8)) = 3,106...`

Na `3,1` dagen is de hoeveelheid nog nét niet gehalveerd.
Na vier dagen is de hoeveelheid gehalveerd.

Opgave 7

Bij deze exponentiële groei hoort een groeifactor van `1,5` .

`\ ^(1,5)log(2)` is de verdubbelingstijd en `\ ^(1,5)log(6)` is de verzesvoudigingstijd.
Als je eerst de hoeveelheid met `2` en vervolgens met `6` vermenigvuldigt, heb je de hoeveelheid met `2*6=12` vermenigvuldigd.

`\ ^(1,5)log(2)` is de verdubbelingstijd.
Als je de verdubbelingstijd vier keer neemt, heb je vier keer met `2` vermenigvuldigd.
De hoeveelheid wordt dan met `2*2*2*2 = 2^4 = 16` vermenigvuldigd.

Opgave 8
a

`4 +3 =7` is waar.

b

`4 -3 *1 =1` is waar.

c

`1+2 =4` is niet waar.

Opgave 9
a

`3`

b

`3`

c

`\ ^2log(112 )`

d

`\ ^2log(3 )`

Opgave 10
a

`10^(log(1,3))=1,3` en daarmee krijg je `H_A(t) = 160 * (10^(log(1,3)))^t = 160*10^(log(1,3)*t) ~~ 160*10^(0,114t)`

b

`10^(log(1,4))=1,4` en daarmee krijg je `H_B(t) = 120 * (10^(log(1,4)))^t = 140*10^(log(1,4)*t) ~~ 160*10^(0,146t)`

c

Gebruik de vorm waarin beide functies hetzelfde grondtal `10` hebben: `120*10^(0,146t) = 160*10^(0,114t)` .
Beide zijden delen door `120` en daarna door `10^(0,114t)` geeft: `10^(0,146t-0,114t) = 160/120 = 1,333...` .
Dus krijg je `10^(0,032t)=1,333...` zodat `0,032t = log(1,333...)` en `t ~~ 3,90` .

Opgave 11
a

`500 * 1,5^x = 6000` geeft `1,5^x = 12` . En dus: `x=\ ^(1,5)log(12) = (log(12))/(log(1,5)) ≈ 6,1` .

b

`0,5 * 10^x = 2000` geeft `10^x=4000` . Hieruit volgt: `x=log(4000) ≈ 3,6`

c

`1500 * 0,95^t = 100` geeft `0,95^t=0,0666...` Hieruit volgt: `t=\ ^(0,95)log(0,0666...) = (log(0,0666...))/(log(0,95)) ≈ 52,8`

Opgave 12

`t=\ ^3log(2) = (log(2))/(log(3)) ≈ 0,63` uur.
Na ongeveer `38` minuten heeft de kolonie zich verdubbeld.

Opgave 13
a

`log(5 )+log(20 )=log(5 *20 )=log(100 ) =2`

b

`\ ^5log(100 )-\ ^5log(4 )=\ ^5log(100 /4 )=\ ^5log(25 )=2`

c

`2 *\ ^6log(3 )+\ ^6log(4 )=\ ^6log(3^2*4 )=\ ^6log(36 )=2`

d

`\ ^ (1/3) log(45 ) -\ ^ (1/3) log(5 )=\ ^ (1/3) log(45 /5 )=\ ^ (1/3) log(9 )= (log(9))/(log(1/3)) =text(-)2`

Opgave 14

`T=\ ^(0,92)log(1/3)≈13,175` . Dus ongeveer `13` uur.

Opgave 15
a

`800 →400 →200 →100` , `3` keer halfwaardetijd, dus `3 *15 =45` uur.

b

`g^15=0,5` , dus `g = 0,5^(1/15) ≈0,9548` .

c

Formule: `N(t) = 800 *0,9548^t` .

Omwerken naar standaard grondtal `10` : `N(t) = 800 *0,9548^t = 800*(10^(log(0,9548)))^t ~~ 800*10^(text(-)0,0201t)` .

d

`t=\ ^(0,9548)log(0,2 )≈34,8` uur.

Ongeveer `34` uur en `3` kwartier.

Opgave A1Alfastraling
Alfastraling
a

`H=1000*0,9990^t = 500` geeft `0,9990^t = 0,5` en `t = \ ^(0,9990)log(0,5) ~~ 693` miljoen jaar.
Dat is ongeveer `6,93 * 10^8 ~~ 7*10^8` jaar.

b

Je moet oplossen `H=1000*0,9990^t lt 0,5` .

`1000*0,9990^t = 0,5` geeft `0,9990^t = 0,00005` en `t = \ ^(0,9990)log(0,00005) ~~ 9899` miljoen jaar.

Opgave A2Radium
Radium
a

`R=1000 *0,90^t`

b

Los op `1000 *0,90^t=800` , dus `0,90^t=0,8` en `t = \ ^(0,90)log(0,8) ≈ 2,118` .
Dus `2` jaar en `1` maand.

c

`0,90^t=0,5` geeft `t = \ ^(0,90)log(0,5) ≈6,58` jaar.

d

In `~~6,58` jaar is van de `1000` mg de helft omgezet.
Er is dan nog `500` mg over.
In `~~6,58` jaar is van de `500` mg de helft omgezet.
Er is dan nog `250` mg over en in totaal `750` mg omgezet.
De totale omzetting van `750` mg duurt dus ongeveer `13,16` jaar.

Opgave T1
a

`x=\ ^2 log(30) ≈ 4,91`

b

`t=\ ^(0,98) log(0,761...)≈13,46`

Opgave T2
a

`\ ^2log(35)`

b

`1`

c

`\ ^(1/3)log(2187)`

verder | terug