Logaritmen > Logaritmen
12345Logaritmen

Uitleg

Voor een andere bacteriekolonie geldt: `B(t) = 4 * 1,5^t` .
Hierin is `B` de hoeveelheid bacteriën en `t` de tijd in uren.

De tijd waarin de hoeveelheid verdubbelt volgt uit `1,5^t=2` en is dus `t = \ ^(1,5)log(2)~~1,71` .
De verdrievoudigingstijd is `\ ^(1,5)log(3)~~2,71` jaar.
De verzesvoudigingstijd is `\ ^(1,5)log(6)~~4,42` jaar.

De verzesvoudigingstijd vind je ook door de verdubbelingstijd en de verdrievoudigingstijd op te tellen: `\ ^(1,5)log(2) + \ ^(1,5)log(3) = \ ^(1,5)log(6)`
Ofwel: ` \ ^(1,5)log(2 )+\ ^(1,5)log(3 )=\ ^(1,5)log(2 *3 )`
Als je twee logaritmen optelt, moet je de getallen waarop ze werken vermenigvuldigen.

De verachtvoudigingstijd van het saldo is `\ ^(1,5)log(8 )` . Die verachtvoudigingstijd vind je ook door drie keer de verdubbelingstijd te nemen.
`\ ^(1,5)log(8 ) ~~ 5,13` en `3 *\ ^(1,5)log(2 )~~5,13`
Er geldt: `\ ^(1,5)log(2^3) = 3 *\ ^(1,5)log(2 )` .
Dit geldt ook voor andere grondtallen en andere getallen.

Deze laatste eigenschap kun je gebruiken om op een rekenmachine een logaritme uit te rekenen met de log-knop. Deze knop werkt namelijk met grondtal `10` , een soort van standaardgrondtal van een logaritme dat je zelfs niet opschrijft: `log(2) = \ ^(10)log(2)` .
Als je `1,5^t=2` moet oplossen, kun je ook met grondtal `10` werken:

`1,5^t=2` geeft `log(1,5^t) = log(2)`

Nu kun je `log(1,5^t)` schrijven als `t * log(1,5)` .
De vergelijking wordt dan `t * log(1,5) = log(2)` en dus is `t = (log(2))/(log(1,5))` .
En dit kun je gewoon met je rekenmachine berekenen: `t = \ ^(1,5)log(2) = (log(2))/(log(1,5)) ~~ 1,71` .
Dit werkt met elk toegestaan grondtal.

Opgave 3

In de Uitleg 2 zie je voorbeelden van enkele eigenschappen van logaritmen.

a

Laat zelf zien dat de verdubbelingstijd plus de verviervoudigingstijd hetzelfde is als de verachtvoudigingstijd.
Schrijf dit ook met logaritmen op.

b

Schrijf als één logaritme: `\ ^(1,5)log(5) + \ ^(1,5)log(10)` .

c

Schrijf als één logaritme: `\ ^(1,5)log(6) - \ ^(1,5)log(2)` .

d

Leg uit waarom `5 * \ ^(1,5)log(3) = \ ^(1,5)log(3^5)` .

Opgave 4

In de Uitleg 2 wordt de vergelijking `1,5^t=2` opgelost met behulp van de `10` -logaritme.

a

Ga na dat inderdaad `\ ^(1,5)log(2) = (log(2))/(log(1,5)) ~~ 1,71` .

b

Los de vergelijking `4 * 1,5^t = 100` op met behulp van de `10` -logaritme. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

verder | terug