Logaritmen > Logaritmische functiesVoorbeeld 2
De luchtdruk varieert met de hoogte boven het zeeniveau. Er geldt op een bepaalde plaats:
`h = \ ^(0,886)log(p/1013)`
Hierin is:
-
`p` de druk in hectopascal
-
`h` de hoogte in km boven zeeniveau
Je kunt deze formule herleiden naar de vorm `h = a*log(p) + b` waarin het standaard grondtal `10` wordt gebruikt. Laat zien hoe.
Gebruik de eigenschap `\ ^glog(c) = (log(c))/(log(g))` .
Dit betekent:
`h = \ ^(0,886)log(p/1013) = (log(p/1013))/(log(0,886))`
.
Omdat
`log(0,886) = text(-)0,5256...`
wordt dit
`h = 1/(text(-)0,5256...)*log(p/1013) ~~ text(-)19*log(p/1013)`
.
Vervolgens is
`log(p/1013) = log(p) - log(1013)`
.
Dus is
`h ~~ text(-)19*log(p/1013) = text(-)19(log(p) - log(1013)) ~~ `
`text(-)19log(p) + 57`
.
Ga in
De formule met grondtal `0,886` is afgeleid van `p = 1013*0,886^h` .
Je kunt ook eerst deze formule herleiden naar de vorm `p = 1013*10^(k*h)` en dan `h` als functie van `p` schrijven.
Laat zien hoe de herleiding dan verloopt.
Maak de grafiek van `h ~~ text(-)19*log(p) + 57` en zorg dat zowel het nulpunt als de verticale asymptoot goed in beeld komen.
Bij welke luchtdruk is `h gt 10` km?
Gegeven is een groeiproces met formule `H = 20*1,2^t` .
Herleid dit tot een formule met het standaardgrondtal `10` .
Schrijf de formule in de vorm `t = a log(H) + b` .
Na hoeveel tijd is `H gt 240` ?