Logaritmen > Vergelijkingen en ongelijkheden
12345Vergelijkingen en ongelijkheden

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de uitleg. Probeer dit wel eerst zelf op te lossen!

Opgave 1
a

`4*log(x) = 1 - log(x)` geeft `5*log(x)=1` en `log(x)=0,2` zodat `x=10^(0,2)~~1,58` .

Grafiek: `x gt 1,58` .

b

`\ ^2log(x) - 1 = 2* \ ^2log(x)` geeft `\ ^2log(x)=text(-)1` zodat `x=2^(text(-)1)=0,5` .

Grafiek: `0 lt x lt 0,5` .

Opgave 2
a

`text(D)_(f)=langle 1, →rangle` en `text(B)_(f)=ℝ`

De verticale asymptoot is `x=1` .

b

Los eerst `3 *\ ^2log(x-1)+16 = 38` op:

`3 *\ ^2log(x-1)+16`

`=`

`38`

`\ ^2log(x-1)`

`=`

`22/3`

`x-1`

`=`

`2^ (22 /3) ≈ 161,27`

`x`

`~~`

`162,27`

Grafiek: `1 lt x lt 162,27`

Opgave 3
a

`1 +4 *\ ^(0,5)log(x+5 )=text(-)3`

`\ ^(0,5)log(x+5 )` `=` `text(-)1`
`x+5` `=` `(1/2) ^(text(-)1)`
`x+5` `=` `2`
`x` `=` `text(-)3`
b

`text(D)_(f)=langletext(-)5 ,→rangle` en `text(B)_(f)=ℝ`

De verticale asymptoot is `x=text(-)5` .

c

`f(x)=text(-)3` voor `x=text(-)3`

Voer in: `y_1=1+4*\ ^(0,5)log(x+5)` en `y_2=text(-)3`

Venster bijvoorbeeld: `[text(-)5, 5]xx[text(-)5, 5]`

Bekijk de grafiek. De uitkomst is:  `text(-)5 < x≤text(-)3`

Opgave 4
a

De verticale asymptoot van de grafiek van `f` is `x=0` .

De verticale asymptoot van de grafiek van `g` is `x=2` .

b

`text(D)_(f)=langle 0, →rangle` en `text(D)_(g)=langle ←, 2 rangle`

c

`x=2-x` geeft `x=1` .

d

`1 < x < 2`

Opgave 5
`\ ^6log(x)+\ ^6log(x-1)` `=` `1`
`\ ^6log(x(x-1))` `=` `1`
`(x-3)(x+2)` `=` `0`
`x` `=` `text(-)2 vv x=3`

Alleen `x=3` voldoet.

Opgave 6
a
`log( (2 x) / (x-1) )` `=` `2`
`(2 x) / (x-1)` `=` `10^2`
`(2x)/(x-1)` `=` `100`
`2 x` `=` `100 x-100`
`x` `=` `100/98=50/49`
b
`\ ^3log(x-2)` `=` `1 +5 *\ ^3log(2)`
`\ ^3log(x-2)` `=` `\ ^3log(3)+\ ^3log(2^5)`
`\ ^3log(x-2)` `=` `\ ^3log(3)+\ ^3log(32)`
`\ ^3log(x-2)` `=` `\ ^3log(96)`
`x-2` `=` `96`
`x` `=` `98`
Opgave 7
a

Kijk als je herleiding klaar is of je hetzelfde hebt gedaan als in het voorbeeld en of je dezelfde uitkomst hebt.

b

`p~~0,00002 *1,12^20 ~~ 19*10^(text(-)3)` Pa.

c

`L=20 *log((0,001)/ (0,00002) ) ~~ 34` dB.

Opgave 8
a

`h = text(-)19log(p) + 57` geeft `log(p) = (h-57)/(text(-)19) ~~ text(-)0,0526h + 3` .

En dit betekent `p ~~ 10^(text(-)0,0526h + 3) = 10^3 * 10^(text(-)0,0526h) = 1000 * 0,886^h` .

b

`p ~~ 1000 * 10^(text(-)0,0526h)` .

Opgave 9
a

`x=text(-)4`

b

`text(D)_(f)=langle text(-)4, →rangle`
`text(B)_(f)=ℝ`

c
`1 -3 *log(x+4 )` `=` `0`
`3*log(x+4)` `=` `1`
`log(x+4)` `=` `1/3`
`x+4` `=` `10^(1/3) ~~ 2,15`
`x` `~~` `text(-)1,85`

Houd rekening met het domein. De oplossing van de ongelijkheid is `text(-)4 < x < text(-)1,85` .

Opgave 10

`\ ^5log(x)`

`=`

`3 +4 *\ ^5log(x)`

`text(-)3*\ ^5log(x)`

`=`

`3`

`\ ^5log(x)`

`=`

`text(-)1`

`x`

`=`

`5^(text(-)1) = 0,2`

Opgave 11
a

`m = 2/3 log(E/2) - 3` geeft `log(E/2) = 3/2*(m+3) = 1,5m + 4,5` , zodat `E = 2*10^(1,5m + 4,5) = 2*10^(4,5)*10^(1,5m) ~~ 63245*10^(1,5m)` .

b

`E ~~ 63245*10^(1,5*5,2) ~~ 4,0*10^12` .

Dus ongeveer `4,0` TJ (TeraJoule).

Opgave 12
a

`text(D)_(f)=langle 0, →rangle`
`text(B)_(f)=ℝ`

De verticale asymptoot van `f` is `x=0` .

`text(D)_(g)=langle←, 4 rangle`
`text(B)_(g)=ℝ`

De verticale asymptoot van `g` is `x=4` .

b
`log(x)` `=` `text(-)1 + log(4-x)`
`log(x) - log(4-x)` `=` `text(-)1`
`log(x/(4-x))` `=` `text(-)1`
`x/(4-x)` `=` `10^(text(-)1) = 0,1`
`x` `=` `0,4-0,1x`
`1,1x` `=` `0,4`
`x` `=` `(0,4)/(1,1) = 4/11`
c

`0 < x≤4/11`

d

`4/11 < x < 4`

Opgave 13

`D ~~ 5,62* 10^(0,25k) - 10`

Opgave A1
a

`log(10 A)=log(10 )+log(A)=1 +log(A)`

b

`10^(3,3)≈1995`

Opgave A2
a

Vergelijkbaar bewijs als in opgave 14a.

b

`D=152,7^@` , dus `16967` km.

c

`8,8=log(A/T)+1,66 *log(D)+3,30` geeft `log(A/T) + log(D^(1,66))=5,5` en dus `log(A/T * D^(1,66)) = 5,5` .

Dit betekent: `A/T * D^(1,66) = 10^(5,5)` en `D^(1,66) = 10^(5,5)*T/A` zodat `D ~~ (316227,766*T/A)^(1/(1,66))` .

Dit kun je schrijven als `D = 2057,09 * (T/A)^(0,60)` .

`p≈2057,09` en `q≈0,60` .

Opgave T1
a

`x~~5,06` .

b

`x~~17,78` .

c

`x=sqrt(1/2)~~0,71`

Opgave T2
a

`text(D)_(f)=langle 0 ,→rangle` en `text(B)_(f)=ℝ` .

Verticale asymptoot van `f` :  `x=0` .

`text(D)_(g)=langle←,6 rangle` en `text(B)_(g)=ℝ` .

Verticale asymptoot van `g` :  `x=6` .

b

`x=1/18` .

c

`x>9841,5`

d

`x=5` .

e

`x=2`

f

`2 ≤x < 6`

Opgave T3
a

`G = 2,4*10^(0,008L)`

b

`G≈26,3` kg.

verder | terug