Logaritmen > Logaritmische schalen
12345Logaritmische schalen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`B = 2 *2^t` geeft `log(B) = log(2*2^t) = log(2) + log(2^t) = log(2) + t*log(2)` .

Dit is hetzelfde als `log(B) = log(2) * t + log(2)` .

b

Omdat `log(B) ~~ 0,301t + 0,301` een lineaire functie is.

c

Maak in GeoGebra de grafiek van `y ~~ 0,301x + 0,301` en zet bij de `x` -as de letter `t` en bij de `y` -as `log(B)` .

d

Bij `B=100` hoort `log(B) = log(100) = 2` , dus je leest af bij `2` op de `y` -as.

Je vindt `t ~~ 5,6` uur.

Opgave 1
a

`log(B)=log(6 *2^t)=log(6 )+log(2^t)=log(6 )+t*log(2 )`
De grafiek wordt een rechte lijn door `(0 , log(6 ))` en met richtingscoëfficiënt `log(2 )` .

b
`t` 0 1 2 3 4 5 ... 15
`log(B)` 0,78 1,08 1,38 1,68 1,98 2,28 ... 5,29
c

Zie de bovenste figuur in de uitleg.

d

Nee, op de verticale as zit tussen twee opeenvolgende streepjes steeds een factor `10` . De stappen worden dus steeds groter: van `1` naar `10` is een kleinere afstand dan van `10` naar `100` .

e

`B(5)=6*2^5=6*32=192` , dus tussen `100` en `1000` .
De juiste plek vind je door de logaritme te berekenen: `log(192)~~2,28` .
Dus het punt moet op `10^(2,28) ~~ 1,9*10^2` zijn getekend en dat klopt ongeveer.

Op vergelijkbare manier is `B(10)=6*2^(10)=6144` en `log(6144)~~3,79` .
Dus het punt moet op `10^(3,79) ~~ 6,2*10^3` zijn getekend en dat klopt ongeveer.

Opgave 2
a

Het maatstreepje op hoogte `4` zit bij `log(4) ~~ 0,60` en dat klopt ongeveer.

b

Omdat de grafiek ongeveer een rechte lijn is in een enkellogaritmisch assenstelsel heeft de formule de vorm `B = a*g^t` . Vul hierin beide gegevens is:

`B(2) = a*g^2 = 9`
`B(8) = a*g^8 = 100`

Uit de eerste vergelijking volgt `a = 9/(g^2)` en dit vul je bij de tweede vergelijking in: `9/(g^2)*g^8 = 100` .

Dit levert op: `9 g^6 = 100` en `g^6 = 100/9` zodat `g = (100/9)^(1/6) ~~ 1,49` .

En ook: `a = 9/(g^2) ~~ 4,03` .

Je krijgt op één decimaal nauwkeurig: `B(t) = 4,0*1,5^t` . Dit komt met de gegeven formule overeen.

Opgave 3
a

`L = k*V^p` geeft `log(L) = log(k*V^p)` .
Met de rekenregels wordt dit `log(L) = log(V^p) + log(k)` en `log(L) = p*log(V) + log(k)` .

Neem je `p=a` en `log(k)=b` dan krijg je `log(L) = log(V^p) + log(k)` .

b

De grafiek is een rechte lijn in een assenstelsel met op beide assen een logaritmische schaalverdeling.

c

Gebruik bijvoorbeeld `L(40)=1,92` en `L(160)=30,72` .

Invullen in `L = k*V^p` geeft `1,92 = k*40^p` en `30,72 = k*160^p` .

De eerste vergelijking geeft `k = (1,92)/(40^p)` .

Dit invullen in de tweede geeft `30,72 = (1,92)/(40^p)*160^p` en `4^p = 16` .

Dus `p=2` en `k = (1,92)/(40^p) = 0,0012` .

De gevraagde formule wordt: `L = 0,0012*V^2` .

Opgave 4
a

`A(2 )≈120`
`A(10 )≈1800`

b

`A(t)=63*1,4^t`

c

Omdat je dan meteen kunt aflezen welke waarde `b` heeft.

Opgave 5
a

`(0; 0,001 )`

b

Gebruik bijvoorbeeld de punten `(text(-)4, 1000)` en `(5; 0,01)` . Je vindt dan de formule `N(t)≈6 *0,28^t` .

c

`(1,4 ; 1)`

d

`N(t)>0` voor elke `t` .

Opgave 6
a

Gebruik bijvoorbeeld het dubbellogaritmisch grafiekenpapier.
Of zet `log(L)` tegen `log(t)` uit op gewoon grafiekenpapier.
Hiernaast zie je wat Excel doet.

b

`L(0,25) = 1,0` en `L(1,00) = 2,0` geven `1,0 = c*0,25^p` en `2,0 = c*1^p` .
Uit de laatste volgt `c = 2,0` en dat betekent `1,0 = 2,0*0,25^p` ofwel `0,25^p = 0,5` .
En daar mee is `p = \ ^(0,25)log(0,5) = 0,5` .

En inderdaad krijg je `t ~~ 2,0*L^(0,5)` .

c

`t = 2pi*sqrt(L/g) = (2pi)/(sqrt(9,8))*sqrt(L) ~~ 2,0 * L^(0,5)` .

Opgave 7
a

De grafiek gaat door de punten die horen bij de kat en het paard.
Dus `Z(4)=2` en `Z(750)=100` .
Vul deze gegevens in `Z = c*m^p` in: `2 = c*4^p` en `100 = c*750^p` .
Hieruit volgt `100 = 2*(750/4)^p` en dus `p ~~ 0,75` .
En verder `c = 2/(4^(0,75)) ~~ 0,70` .

Dus krijg je inderdaad `Z = 0,70*m^(0,75)` .

b

`Z = 0,70*500^(0,75) ~~ 74` L/uur.

Opgave 8
a

Voor `V(t)=b*g^t` geldt:

`V(0 )=b*g^0=3`
`V(6 )=b*g^6=7`

Dit levert: `b=3` en `g^6=7/3=2 1/3` , zodat `g=(2 1/3)^(1/6)≈1,15` .
Een passende formule is dan `V(t)≈3 *1,15^t` .

b

Los op: `V(t)=5`

`3*1,15^t` `=` `5`
`1,15^t` `=` `1 2/3`
`t` `=` `\ ^(1,15)log(1 2/3)≈3,65`
c

`t` -as ligt op hoogte `1`
Los op: `V(t)=1`

`3*1,15^t` `=` `1`
`1,15^t` `=` `1/3`
`t` `=` `\ ^(1,15)log(1/3)≈text(-)7,86`
Opgave 9
a
`t` 0 1 2 3 4 5 6
`log(N)` 1,70 1,92 2,15 2,37 2,60 2,83 3,05
b
c

Ja, je krijgt ongeveer een rechte lijn door `(0 ; 1,70 )` en `(4 ; 2,60 )` .

d

Ja er is sprake van exponentiële groei.

e

`log(N)≈1,70 +0,22 t`

f

`N(t)=50 *1,66^t`

Opgave 10

De punten liggen bij benadering op een rechte lijn op dubbellogaritmisch papier. Er is sprake van een machtsverband tussen `x` en `y` .

Het model wordt gegeven door `y=a*x^b` .
Als `x=1` , dan is `y=35` . Hieruit volgt dat `a=35` .
Als `x=5` , dan is `y=78` . Hieruit volgt `78=35*5^b` .
De grafische rekenmachine geeft `b≈0,5` . Het model wordt `y=35*x^(0,5)` .
Als `x=1000` , dan is `y≈1107` . (Eventueel kun je dit ook proberen af te lezen van het dubbellogpapier.)

Opgave 11

De lijn gaat door de punten `(log(h), w) =(0, 2)` en `(log(h), w)=(2, 8)` .

De helling is dan `a=(8-2)/(2-0)=3` .

Invullen van `(2, 8)` levert je de waarde van `b` : `8=3*log(100)+b` . Dus `b=2` .

Het startgetal is dan gelijk aan `2` .

Opgave 12
a

`log(m)≈0,1` en `log(P)≈2,4` .

b

`log(P)≈text(-)0,14 *log(m)+2,41` .

c

`P~~ 257 *m^(text(-)0,14)`

Opgave A1
a

Als het aantal decibel met `20` toeneemt, wordt de geluidsdruk `10` keer zo groot.

b

Gebruik bijvoorbeeld `p(0)=20` µPa `=0,00002` Pa en `p(94)~~1text(.)000text(.)000` µPa `=1` Pa.

Dit invullen geeft `0,00002 = b*g^0` en `1 = b*g^94` .

Dus `b=0,00002` en `g = 50000^(1/94) ~~ 1,12` .

De gevraagde formule wordt `p = 0,00002*1,12^L` .

c

Werk de formule `p = 0,00002*1,12^L` om naar `L = \ ^(1,12)log(p/(0,00002))` .

Je kunt dit nog herleiden: `L = (log(p/(0,00002)))/(log(1,12)) ~~ 20*log(p/(0,00002)) = 20*log(p) - 94` .

Opgave A2
a

Afgerond `0,0011` Pa.

b

`95,1` dB

c

Tien keer zo groot.

Opgave T1
a

Bekijk de figuur.

b
c

Er is sprake van exponentiële groei.

d

`N(t)=40 *1,495^t` met `t` in weken.

Opgave T2
a

Er is geen sprake van een exponentieel verband, de punten liggen op enkellogaritmisch papier niet op een rechte lijn.

b

Er is sprake van een machtsverband, de punten liggen op dubbellogaritmisch papier bij benadering op een rechte lijn.

c

De rechte lijn gaat ongeveer door `(10^2; 2,8)` en `(10^3, 12)` .

De formule wordt dan `H~~0,15*G^(0,63)` .

De afwijkingen hebben met het aflezen te maken.

d

Los de ongelijkheid `0,12*G^(0,67)>150` op.

Het lichaamsgewicht van een zoogdier met een hersengewicht van meer dan `150` gram is meer dan `41903` gram.

verder | terug