Logaritmen > Logaritmische schalen
12345Logaritmische schalen

Uitleg

Bij bacteriegroei in een petrischaaltje kan het verloop van het geschatte aantal bacteriën `B` worden gegeven door de formule `B(t)=6 *2^t` met `t` in uren en `t=0` om 12:00 uur.
Je kunt deze formule herleiden tot `log(B) = log(2)*t + log(6)` .
Dit betekent dat `log(B)` een lineaire functie is van `t` .
Je zet dan `log(B)` op de `y` -as en `t` op de `x` -as en je krijgt de grafiek hiernaast.

Je kunt ook een zogenaamde logaritmische schaalverdeling gebruiken.

Op de plaats van `0` , `1` , `2` , `3` , `4` , enzovoort, zet je dan de machten van `10` neer: `10^0` , `10^1` , `10^2` , `10^3` , `10^4` enzovoort. Om de uitkomsten voor `B` op de juiste plek te zetten, gebruik je een `10` -logaritme.

Bijvoorbeeld op `t=15` heb je `B=6 *2^15=196608` bacteriën. Dat getal ligt tussen `10^5` en `10^6` . De logaritme van dat getal is: `log(196608)≈5,29` . Je zet het daarom op `5,29` eenheden boven de horizontale as, bij `10^(5.29) = 10^5 * 10^(0,29) ~~ 2,0*10^5` dus.

Gebruik je op de verticale as een logaritmische schaal en op de horizontale as een gewone lineaire schaal, dan wordt de grafiek van een exponentiële functie altijd een rechte lijn. In Excel kun je gemakkelijk grafieken maken met een logaritmische schaal. Er bestaat ook enkellogaritmisch grafiekenpapier.

Opgave 1

Als je voor de grafiek van de exponentiële functie `B(t)=6 *2^t` op de `B` -as een speciale schaalverdeling gebruikt, ziet de grafiek eruit als een rechte lijn.

a

Met de eigenschappen van logaritmen kun je laten zien dat `log(B)` ook echt een lineaire functie van `t` is. Toon aan dat `B=6 *2^t` is te herleiden tot `log(B)=log(2 )*t+log(6 )` .

b

Neem een gewoon stuk roosterpapier en maak een assenstelsel met `log(B)` uitgezet tegen `t` .

Maak ook een tabel van `log(B)` afhankelijk van `t` .

c

Zet de bijbehorende punten in het assenstelsel. Als het goed is, krijg je de bovenste grafiek in de Uitleg .

d

Zijn op deze schaalverdeling de afstanden tussen twee maatstreepjes steeds even groot?

Bekijk nu de onderste grafiek in de Uitleg .
Deze is getekend op enkellogaritmisch papier.

e

Laat zien dat de punten die horen bij `B(5 )` en `B(10 )` goed zijn getekend.

Opgave 2

In een ander petrischaaltje groeien de bacteriën volgens `B(t) = 4*1,5^t` met `t` in uren en `B` de hoeveelheid bacteriën. Deze formule is afgeleid uit deze grafiek die is gemaakt vanuit een tabel in Excel.

a

Je ziet in de formule dat `B(0)=4` .
Hoe past dit bij de figuur?

b

In de figuur zie je dat `B(8) ~~ 100` en `B(2)~~9` .
Laat zien, hoe je met deze gegevens de formule voor `B(t)` kunt opstellen.

Opgave 3

De lichtsterkte `L` van een lamp is afhankelijk van de spanning `V` die op de lamp staat. Er geldt een formule van de vorm:

`L = k*V^p`

Hierin is:

  • `k` en `p` een constante

  • `V` de spanning in volt (V)

  • `L` de lichtsterkte in candela (cd)

a

Laat zien dat de bijbehorende grafiek een rechte lijn is als je op beide assen een logaritmische schaal gebruikt. Laat dus zien dat deze formule te schrijven is in de vorm `log(L) = log(V^p) + log(k)` .

Hier zie je de experimentele gegevens van een lamp.

b

Hoe zie je aan de grafiek dat er een formule van de vorm `L = k*V^p` bij past?

c

Stel met de gegevens de bij deze lamp passende formule voor `L(V)` op.

verder | terug