Logaritmen

Logaritmen > Logaritmische schalen

12345Logaritmische schalen

Toepassen

Log-grafieken en schaaldelen

Binnen de techniek wordt veel gewerkt met logaritmische grafieken. Daarbij heeft tenminste één van de assen een logaritmische schaalverdeling. Voor het tekenen van dergelijke grafieken kun je gebruik maken van bestaande software (zoals bijvoorbeeld Excel) of logaritmisch papier gebruiken.
Echter, het zelf kunnen tekenen van een log-assenstelsel op lineair ingedeeld papier (ruitjespapier) en het plaatsen van punten, evenals het aflezen van coördinaten, leidt tot een beter begrip van logaritmen. Niet alleen rekenkundig, maar zeker ook grafisch.

In de volgende opgaven ga je het "handmatig" tekenen van een logaritmisch assenstelsel bekijken. De opgaven hebben betrekking op bijgaande figuur.

Onder een zuiger bevindt zich een hoeveelheid gas. Door het volume `V` te variëren verandert de druk `p` . Er zijn enkele metingen verricht, waarvan de resultaten in de volgende tabel zijn weergegeven.

`V` (dm³)	`4`	`3`	`2`	`1,5`
`p` (N/m²)	`15*10^4`	`19*10^4`	`30*10^4`	`41*10^4`

Opgave A1Van ruitjespapier naar logaritmisch papier

Van ruitjespapier naar logaritmisch papier

Je leert nu op methodische wijze met potlood en papier log-assenstelsels te tekenen en daarin punten te plaatsen en waarden (puntenparen) af te lezen.

Daarbij worden logaritmen met grondtal `10` met bijbehorende exponent `x` gebruikt (de methode werkt ook voor andere grondtallen). Er worden steeds twee opvolgende machten van het grondtal `10` (bijvoorbeeld `10^2` en `10^3` ) op een afstand van `10` cm uit elkaar getekend. Dit is straks handig met het meten van schaaldelen.

Je gaat uitgaande van ruitjespapier, een dubbellogaritmisch assenstelsel tekenen: eerst decimale waarden naar log-waarden omzetten en vervolgens deze log-waarden naar afstanden (schaaldelen) vertalen.

In de volgende tabel zijn de eerste twee rijen reeds ingevuld. Maak deze tabel verder af.

Van decimale waarden `rarr` log-waarden	Van log-waarden `rarr` afstanden
` 1=10^x hArr x=\ ^10log(1) =0 rArr 10^0 =1`	`0 *10` cm `=0` cm
` 2=10^x hArr x=\ ^10log(2) =0,3 rArr 10^(0,3) =2`	`0,3 *10` cm `=3` cm
` 3=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 4=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 5=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 6=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 7=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 8=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 9=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
`10=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`

Teken een dubbellogaritmisch assenstelsel en let daarbij op het volgende:

Noem de horizontale as `V` (van Volume) en de verticale as `p` (van druk);
Kies `1 le V le 10` ;
Kies `10^5 le p le 10^6` .

De reden voor deze keuze heeft te maken met de volgende opgave.

Plaats ook de schaaldelen in de figuur.

Opgave A2Formule van een machtsverband afleiden uit een grafiek

Formule van een machtsverband afleiden uit een grafiek

We gaan terug naar de meetgegevens van de opstelling waarbij een hoeveelheid gas zich onder een zuiger bevindt. Te verwachten is dat:

`p=a*V^m`

met `a` en `m` constant.
In een dubbellogaritmisch assenstelsel is de grafiek van deze machtsfunctie een rechte lijn, waarvan `m` gelijk is aan de helling van de lijn.

Leg uit dat van de machtsfunctie `p=a*V^m` de waarde van `m` gelijk is aan de helling van de lijn in een dubbellogaritmisch assenstelsel.

Je gaat de waarden van `V` en `p` plaatsen in het dubbellogaritmisch assenstelsel. Zoals je eerder hebt gezien moet je daar eerst wat voorbereidend werk voor doen (zie ook vorige opgave).

Neem de tabel over met vier extra kolommen, zoals bijgaand weergegeven. Met `ΔV` wordt bedoeld de afstand tot de verticale as en met `Δp` de afstand tot de horizontale as. Vul de tabel verder in.

`V` (dm³)	`p` (N/m²)	`log(V)`	`log(p)`	`ΔV` (in cm)	`Δp` (in cm)
`4`	`15*10^4`	`0,6`	`5,18`	`6`	`1,8`
`3`	`19*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`
`2`	`30*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`
`1,5`	`41*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`

Plaats de meetwaarden nu in het dubbellogaritmisch assenstelsel dat je in de vorige opgave hebt getekend. Teken vervolgens de best passende rechte lijn door de punten, zodanig dat deze lijn de verticale as en horizontale as snijdt. Noem deze snijpunten `S` resp. `T` .

Bepaal nu de helling van de lijn. Wat is de betekenis van de waarde op de verticale as in punt `S` ? Bepaal deze waarde.
Schrijf tenslotte de vergelijking van de machtsfunctie op en controleer zelf of de meetwaarden hieraan voldoen.

verder | terug