Logaritmen

Logaritmen > Logaritmische schalen

12345Logaritmische schalen

Toepassen

Log-grafieken en schaaldelen

Binnen de techniek wordt veel gewerkt met logaritmische grafieken. Daarbij heeft tenminste één van de assen een logaritmische schaalverdeling. Voor het tekenen van dergelijke grafieken kun je gebruik maken van bestaande software (zoals bijvoorbeeld Excel) of logaritmisch papier gebruiken.
Echter, het zelf kunnen tekenen van een log-assenstelsel op lineair ingedeeld papier (ruitjespapier) en het plaatsen van punten, evenals het aflezen van coördinaten, leidt tot een beter begrip van logaritmen. Niet alleen rekenkundig, maar zeker ook grafisch.

In de volgende opgaven ga je het "handmatig" tekenen van een logaritmisch assenstelsel vergelijken met het gebruik van Excel om hetzelfde doel te bereiken. De opgaven hebben betrekking op bijgaande figuur.

Onder een zuiger bevindt zich een hoeveelheid gas. Door het volume `V` te variëren verandert de druk `p` . Er zijn enkele metingen verricht, waarvan de resultaten in de volgende tabel zijn weergegeven.

`V` (dm³)	`4`	`3`	`2`	`1,5`
`p` (N/m²)	`15*10^4`	`19*10^4`	`30*10^4`	`41*10^4`

Opgave A1Van ruitjespapier naar logaritmisch papier

Van ruitjespapier naar logaritmisch papier

Je leert nu op methodische wijze met potlood en papier log-assenstelsels te tekenen en daarin punten te plaatsen en waarden (puntenparen) af te lezen.

Daarbij worden logaritmen met grondtal `10` met bijbehorende exponent `x` gebruikt (de methode werkt ook voor andere grondtallen). Er worden steeds twee opvolgende machten van het grondtal `10` (bijvoorbeeld `10^2` en `10^3` ) op een afstand van `10` cm uit elkaar getekend. Dit is straks handig met het meten van schaaldelen.

Je gaat uitgaande van ruitjespapier, een dubbellogaritmisch assenstelsel tekenen: eerst decimale waarden naar log-waarden omzetten en vervolgens deze log-waarden naar afstanden (schaaldelen) vertalen.

In de volgende tabel zijn de eerste twee rijen reeds ingevuld. Maak deze tabel verder af.

Van decimale waarden `rarr` log-waarden	Van log-waarden `rarr` afstanden
` 1=10^x hArr x=\ ^10log(1) =0 rArr 10^0 =1`	`0 *10` cm `=0` cm
` 2=10^x hArr x=\ ^10log(2) =0,3 rArr 10^(0,3) =2`	`0,3 *10` cm `=3` cm
` 3=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 4=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 5=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 6=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 7=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 8=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
` 9=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`
`10=10^x hArr x=... =... rArr ...`	`...`

Teken een dubbellogaritmisch assenstelsel en let daarbij op het volgende:

Noem de horizontale as `V` (van Volume) en de verticale as `p` (van druk);
Kies `1 le V le 10` ;
Kies `10^5 le p le 10^6` .

De reden voor deze keuze heeft te maken met de volgende opgave.

Plaats ook de schaaldelen in de figuur.

Opgave A2Formule van een machtsverband afleiden uit een grafiek

Formule van een machtsverband afleiden uit een grafiek

We gaan terug naar de meetgegevens van de opstelling waarbij een hoeveelheid gas zich onder een zuiger bevindt. Te verwachten is dat:

`p=a*V^m`

met `a` en `m` constant.
In een dubbellogaritmisch assenstelsel is de grafiek van deze machtsfunctie een rechte lijn, waarvan `m` gelijk is aan de helling van de lijn.

Leg uit dat van de machtsfunctie `p=a*V^m` de waarde van `m` gelijk is aan de helling van de lijn in een dubbellogaritmisch assenstelsel.

Je gaat de waarden van `V` en `p` plaatsen in het dubbellogaritmisch assenstelsel. Zoals je eerder hebt gezien moet je daar eerst wat voorbereidend werk voor doen (zie ook vorige opgave).

Neem de tabel over met vier extra kolommen, zoals bijgaand weergegeven. Met `ΔV` wordt bedoeld de afstand tot de verticale as en met `Δp` de afstand tot de horizontale as. Vul de tabel verder in.

`V` (dm³)	`p` (N/m²)	`log(V)`	`log(p)`	`ΔV` (in cm)	`Δp` (in cm)
`4`	`15*10^4`	`0,6`	`5,18`	`6`	`1,8`
`3`	`19*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`
`2`	`30*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`
`1,5`	`41*10^4`	`...`	`...`	`...`	`...`

Plaats de meetwaarden nu in het dubbellogaritmisch assenstelsel dat je in de vorige opgave hebt getekend. Teken vervolgens de best passende rechte lijn door de punten, zodanig dat deze lijn de verticale as en horizontale as snijdt. Noem deze snijpunten `S` resp. `T` .

Bepaal nu de helling van de lijn. Wat is de betekenis van de waarde op de verticale as in punt `S` ? Bepaal deze waarde.
Schrijf tenslotte de vergelijking van de machtsfunctie op en controleer zelf of de meetwaarden hieraan voldoen.

Opgave A3Excel inzetten voor de analyse van een machtsverband

Excel inzetten voor de analyse van een machtsverband

Uitgaande van meetgegevens heb je in de vorige opgave langs grafische weg de formule bepaald. In het algemeen geldt echter dat een kleine onnauwkeurigheid grote gevolgen kan hebben voor de uiteindelijke uitkomst. Bij een grafische aanpak zijn er altijd wat afwijkingen door het gebruik van logaritmische schalen, waarbij een kleine onnauwkeurigheid tot (grote) verschillen kan leiden.

In plaats daarvan kun je ook rekenprogramma's inzetten. Nu ga je Excel gebruiken om de meetgegevens uit de vorige opgave om te zetten in een formule. Het is daarbij voldoende dat je grafieken kunt maken bij gegeven tabellen. Indien je niet (meer) weet hoe dat moet, neem dan een kijkje bij Basistechnieken grafieken bij tabellen.

Gebruik de algemene formule van een machtsverband in combinatie met twee punten van de tabel om de betrekking tussen `p` en `V` op te stellen.

Neem de tabel over in Excel en teken de punten in een assenstelsel met lineaire assen (standaard wordt in Excel een dergelijk assenstelsel gebruikt).

Ga na hoe je de assen van de grafiek kunt aanpassen naar een logaritmische schaal en voer deze aanpassing door.

Zoals verwacht liggen de punten in het dubbellogaritmisch assenstelsel op een rechte lijn.

Ga na hoe je in Excel een trendlijn (beste "fit" ) kun laten toevoegen en laat Excel ook de formule van de trendlijn tonen. Conclusie?

verder | terug