Periodieke functies > Sinus- en cosinusfunctiesUitleg
Je ziet weer de grafieken van `y = sin(x)` en `y = cos(x)` .
Kies je
`alpha = 45^@ = 1/4 pi`
, dan zijn
`MQ`
en
`PQ`
gelijk.
Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan
`sin(45°)=sin(1/4pi)=1/2sqrt(2)`
.
Aan de grafieken (en ook in de eenheidscirkel) zie je dat er nog veel meer
`x`
-waarden zijn met dezelfde exacte uitkomst, namelijk
`sin(x) = 1/2sqrt(2)`
als
`x = 1/4pi + k*2pi vv x = pi - 1/4pi + k*2pi`
.
En ook is `cos(x) = 1/2sqrt(2)` als `x = 1/4pi + k*2pi vv x = text(-)1/4pi + k*2pi` .
En er zijn meer `x` -waarden waarvan de sinus en de cosinus exact te berekenen zijn.
In de tabel staan enkele exacte waarden van de sinus en cosinus waarbij de hoek in graden en in radialen is gegeven.
| hoek (graden) | `0^@` | `30^@` | `45^@` | `60^@` | `90^@` |
| hoek (radialen) | `0` rad | `1/6 pi` rad | `1/4 pi` rad | `1/3 pi` rad | `1/2 pi` rad |
| sinus | `0` | `1/2` | `1/2sqrt(2)` | `1/2sqrt(3)` | `1` |
| cosinus | `1` | `1/2sqrt(3)` | `1/2sqrt(2)` | `1/2` | `0` |
Met behulp van de symmetrie van de eenheidscirkel kun je ook de exacte waarde van
bijvoorbeeld
`sin(1 1/4pi)`
bepalen. Er geldt bijvoorbeeld dat:
`sin(1 1/4pi)=text(-)sin(1/4pi)=text(-)1/2sqrt(2)`
.
In
Leid dit zelf af door in `Delta MQP` de stelling van Pythagoras toe te passen.
Ga nu zowel in de eenheidscirkel als in de grafiek na, dat `sin(x) = 1/2sqrt(2)` als `x = 1/4pi + k*2pi vv x = 3/4pi + k*2pi` .
Schrijf alle waarden van `x` op waarvoor `sin(x) = text(-)1/2sqrt(2)` .
Leg uit waarom `cos(x) = 1/2sqrt(2)` als `x = 1/4pi + k*2pi vv x = text(-)1/4pi + k*2pi` .
In
Kies
`x = 1/6 pi`
.
`Delta MQP`
is nu de helft van een gelijkzijdige driehoek waarvan
`MQ`
de symmetrieas is.
Leg uit dat
`sin(1/6 pi) = 1/2`
en
`cos(1/6 pi) = 1/2 sqrt(3)`
.
Hoe leid je af dat `sin(1/3 pi) = 1/2 sqrt(3)` ?